Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Vopr--zad--1k-2-sem-ID-doc

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
28.10.2018
Размер:
319.08 Кб
Скачать

Теоретические вопросы и задачи по математике для студентов первого курса специальности «Издательское дело» в летнюю сессию

Теоретические вопросы

1.Задачи приводящие к понятию определенного интеграла. Определение определенного интеграла.

2.Теорема существования определенного интеграла. Свойства

определенного интеграла.

3. Теорема о связи определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона-Лейбница

4. Замена переменной в определенном интеграле.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

6. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку интегрирования.

7. Несобственные интегралы от функций, терпящих бесконечный разрыв. 8. Применение определенного интеграла для вычисления площадей.

9. Применение определенного интеграла для вычисления длин дуг.

10. Применение определенного интеграла для вычисления объемов тел.

11. Задачи приводящие к дифферинциальным уравнениям. Основные понятия о дифференциальных уравнениях.

12. Дифференциальные уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины. Задача Коши. Теорема Коши.

13. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

14.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Общая схема решения дифференциальных уравнений первого порядка.

15. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

16. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема существования и единственности. Свойства решений.

17.Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения.

18.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

19.Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного

уравнения.

20. Нахождение частного решения для линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

21.Системы дифференциальных уравнений.

22.Ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда.

23.Основные свойства рядов.

24.Знакоположительные ряды. Первый и второй достаточные признаки сходимости рядов.

25.Знакоположительные ряды. Признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости рядов.

26. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютно и условно

сходящиеся ряды.

27.Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

28.Функциональные ряды. Область сходимости. Достаточный признак сходимости.

29. Степенные ряды. Радиус сходимости степенного ряда. 30. Основные теоремы о степенных рядах.

31. Ряд Тейлора.

32. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора. 33. Применение рядов к приближенным вычислениям и решению

дифференциальных уравнений.

34.Задачи приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл и его вычисление.

35. Тройной интеграл и его вычисление.

36.Криволинейные интегралы первого ивторого рода и их вычисление.

37. Основные понятия и определения теории вероятностей. Классическое определение вероятности.

38. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей.

39.Произведение событий. Теорема умножения вероятностей.

40.Формула полной вероятности.

41.Схема Бернулли. Формула Бернулли.

42.

Локальная и

интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

43.

Дискретные

случайные величины.

44.Числовые характеристики дискретных случайных величин.

45.Непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения.

46.Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 47.Законы распределения случайных величин: Пуассона, показательный,

равномерный.

48. Нормальный закон распределения.

49.Двумерные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей. Одномерные законы распределения.

50.Независимые случайные величины. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.

51.Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и интервальный статистические ряды. Полигон. Гистограмма. Эмпирическая функция распределения.

52.Точечные оценки параметров распределения. Их свойства и вычисление.

53.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального закона распределения при известном .

54.Интервальные оценки параметров распределения. Доверительный интервал для математического ожидания нормального закона распределения при неизвестном .

55.Элементы корреляционного анализа. Двумерная случайная величина.

Функциональная и корреляционная зависимость.

56.Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов. Коэффициент корреляции и его свойства.

Задачи.

Вычислить определенные интегралы :

2

 

xdx

 

 

2.

ctg5 xdx

 

1.

 

 

 

 

.

 

 

 

.

 

2

1

3

sin

2

x

0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. 2 sin2 x dx .

4. sin3 x dx .

0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

2

3. esin x cos x dx .

0

4

6.sin 2 x cos3 x dx .

0

4

7. x sin x cos x dx .

0

2xdx

10..

0x 1

1

8. 2x 1 e3x dx

0

8

 

dx

 

11.

 

.

 

 

 

 

 

 

0

3 x 4

 

e ln x

. 9. 2 x2 dx .

e

12. x2 ln x dx .

2

Вычислить несобственные интегралы:

13.

 

2

dx

.

14.

 

 

dx

2 .

15.

 

 

 

1

 

dx .

 

 

 

 

xe x2 dx . 16.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

x 2x 2

 

x 1

 

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

 

 

 

y 4 x2 ,

 

2x y 1 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

18.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

 

 

 

y 4x x2 ,

 

y 2x 8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

19.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

 

 

 

xy 2,

x 2 y 5 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

20.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

 

 

 

y x3,

x y 2 0,

y 0 .

 

 

 

 

 

 

 

21. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

 

 

 

 

y e2 x ;

y e 2 x ,

 

x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

22. Вычислите

объем тела, образованного вращением фигуры,

 

ограниченной линиями y 2x x2 ,

y 0

вокруг оси Оx.

 

23. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,

 

ограниченной линиями y 2x x2 ,

y x

вокруг оси Оx.

 

24. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,

 

ограниченной линиями y 2x x2 ,

y x

вокруг оси Оx.

 

25. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры,

 

ограниченной линиями y ex ,

y e x ,

x 1 вокруг оси Оx.

 

26. Вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями: x y 6,

x y 7 .

27.Вычислить объем тела образованного вращением вокруг оси Ox

фигуры,

ограниченной линиями: y x 2 ,

 

x y 2 .

 

28. Найти

частное решение дифференциального уравнения

 

 

 

 

 

 

 

y 5y 6 y e 2 x ,

y 0

0, y 0 1.

 

29. Найти общее решение дифференциального уравнения y tgx y 1

30. Найти общее решение дифференциального уравнения y 3y x cos x .

31. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

y 7 y 10y sin 2x .

 

32.

Найти частное решение дифференциального уравнения

 

y 4 y 5y 2e2 x ,

y 0 0, y 0 1.

33.

Найти общее решение дифференциального уравнения

 

y ctgx y 2cos2 x ctgx

 

34. Найти общее решение дифференциальнциального уравнения

 

 

y

x y y 1

ln

 

.

 

 

 

x

35. Найти общее решение

дифференциального уравнения

y 5y 4y 2x 3

36. Найти общее решение дифференциального уравнения y 2 yx x2 .

37. Найти общее решение дифференциального уравнения y 1 y 5 y 2 0 .

38. Найти общее решение дифференциального уравнения

1 x2 y 2xy 1 x2 2 .

39. Найти общее решение дифференциального уравнения yy y 2 .

40. Найти общее решение дифференциальнциального уравнения y y tgx sin 2x .

41. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

x 3x y

.

 

y x y

 

42. Найти общее решение дифференциальнциального уравнения xy y x2 y2 .

43. Найти общее решение дифференциальнциального уравнения y 2 y 10 y 18e x .

44. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

x 7x y

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2x 5 y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

45. Исследовать на сходимость числовой ряд

 

 

 

 

 

 

 

n 1 3n !

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

46. Исследовать на сходимость числовой ряд

 

 

 

 

 

 

 

n 1 3n !

 

 

3n

 

 

47. Исследовать на сходимость ряд

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1 n!

 

 

.

.

1 n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

n

 

 

48. Найти область сходимости степенного ряда

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1n 10

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49. Исследовать на сходимость ряд

 

 

3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1n

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

n

x

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50. Найти область сходимости ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1n n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

51. Исследовать на сходимость ряд

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

n 13n

 

1

 

 

 

 

 

 

 

52. Исследовать на сходимость ряды :

53. Исследовать на сходимость ряды:

n 12n2 3

n ! n 1 2n !

 

 

5n 1 !

 

;

 

 

5

n

 

 

.

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 3

n

 

n 1 n

 

 

 

 

54. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями:

y

10

, y 7 x.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55. С помощью двойного интеграла, вычислить площадь фигуры,

ограниченной линиями: y 0,

y x2 , y x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

56. С помощью двойного интеграла,

вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями : y 4,

z x2 y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

57. С помощью двойного интеграла,

вычислить объем тела, ограниченного

поверхностями : z 0,

z x2 y2 ,

x2 y2 4 .

 

 

 

 

 

 

 

58. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги

 

 

 

1

 

 

dl,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

где L – отрезок прямой,

от точки А(1;2) до точки В(2;4).

 

 

 

59. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги xdl,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

где L - дуга параболы y2

x

2

 

 

, лежащая между точками O(0; 0) и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B(2; 2 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60. Вычислить криволинейный интеграл по координатам xdy ,

где L - отрезок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

прямой

x

 

y

1 от точки пересечения еѐ с осью абсцисс до точки

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пересечения ее с осью ординат.

61. Вычислить криволинейный интеграл по координатам (x2 y2 )dx , где L -

L

дуга параболы y x2 от точки (0, 0) до точки (2, 4).

62. Имеется три ящика деталей: в первом ящике 50 деталей, из них 20 окрашенных; во втором –60, из них 10 окрашенных; в третьем – 40 , из них 15 окрашенных. Найдите вероятность того, что наугад взятая

деталь из наугад взятого ящика окажется окрашенной.

63. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,8. Найдите вероятность того, что в 6 независимых испытаниях событие А появится: а) не менее 5 раз; б) хотя бы один раз.

64.В урне находятся 10 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад извлекли 4 шара. Найти вероятность, что среди них: а) все белые; б) 2 белые и 2 черные.

65.Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа

станок не потребет внимания рабочего, равна для первого станка 0,7, для второго 0,8 и для третьего 0,9. Построить ряд распределения и найти математическое ожидание и дисперсию числа станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

66. Вероятрость того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9, второй 0,8 и третий – 0,7. Найти вероятность того, что студент сдаст: а) только один экзамен; б) все три экзамена; в) хотя бы один экзамен.

67.Вероятность выхода из строя за некоторое время Т одного конденсатора равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 100 независимо работающих конденсаторов в течение времени Т выйдет из строя:

а) ровно 70 конденсаторов; б) не более 20 конденсаторов.

68.В каждой из двух урн находится по 5 белых и 10 черных шаров. Из

первой во вторую перекладывают один шар. После чего из второй урны извлекают шар. Найти вероятность того, что он будет белый.

69.Три стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность попаданий в цель: а) хотя бы одним стрелком; б) двумя стрелками.

70.На складе имеется 20 деталей, причем 12 из них изготовлено на заводе №1, а 8 на заводе №2. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых деталей 3 будут изготовлены заводом №1.

71.Брошены три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков.

72.Прибор состоит из 10 ламп. Вероятность отказа любой лампы за время t равна 0,4. Найти вероятность того, что за время t откажут не более

2-ух ламп.

73. Студент знает из 20 билетов только 10. Перед ним студент вытянул билет и готовится. Найти вероятность того, что студент вытянет билет, который он знает.

74.Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках. Вероятность того, что формула содержится в 1-ом, 2-ом, 3-ем справочнике, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.

75.Два стрелка производят по одному выстрелу по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8; вторым стрелком – 0,6. Найти вероятность того, что в цель будет только одним одно

попадание.

76. Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найдите вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдут 4.

77.Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания в цель для первого

стрелка равна 0,5, для второго 0,6. Построить ряд распределения

случайной величины

 

 

 

X (общего числа попаданий) и найти ее

характеристики M X и

D X .

78. Случайная величина

 

 

 

 

X

задана функцией распределения

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

при

x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

 

 

 

 

 

при

0 x 3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

 

x 3.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется найти: а)

 

математическое ожидание M X и дисперсию

D X ; б)

P

 

X M X

 

 

X ; в) построить графики интегральной

 

 

функции

распределения

F x и плотности распределения вероятностей

p x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79. Случайная величина

 

 

 

 

X распределена по нормальному закону с

параметрами a 50

 

 

 

 

 

и 5 . Найдите: а) вероятность попадания

случайной величины X

в заданный интервал 45, 52 ;

б) P

 

X M X

 

2 .

 

 

 

 

 

 

80. Случайная величина

 

 

 

 

X

задана функцией распределения

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

при

x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F x

 

 

 

 

 

 

при

0 x 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

x 2.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Требуется найти: а) математическое ожидание

M X и дисперсию

D X ;

б) P

 

X M X

 

X ; в)

построить графики функции распределения

 

 

F x и плотности распределения вероятностей

p x .

 

81. Из генеральной совокупности извлечена

выборка объема n 50 :

 

 

 

 

 

 

xi

 

2

 

5

 

7

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ni

 

16

 

12

 

8

 

14

 

 

Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности и построить график эмпирической функции распределения.

82.Пусть в резулльтате эксперимента получены следующие наблюдения случайной величины X : 14,16,22,20,14,18,20,20,18,14,16,18,16,16,20, 18,16,20,16,18,18,22,18,20,18,20,14,18,22,18. Необходимо записать статистический ряд, вычислить выборочное среднее значение x и

несмещѐнную оценку дисперсии s2 .

83. Из генеральной совокупности извлечена выборка :

5,7,13,11,5,9,11,11,9,5,7,9,7,7,11,9,7,11,7,9,9,13,9,11,9,11,5,9,13,9.

Необходимо записать статистический ряд, найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности и построить график эмпирической функции распределения.

84. Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi

4

7

9

11

ni

16

12

8

14

Необходимо:

1)построить полигон относительных частот;

2)найти эмпирическую функцию распределения и построить еѐ график;

3)вычислить выборочное среднее значение x и несмещѐнную оценку

дисперсии s2 .

 

 

 

 

 

 

 

85. Из генеральной совокупности извлечена

выборка

 

xi

 

10

 

 

20

 

25

 

 

15

 

 

 

ni

 

26

45

 

20

 

9

Необходимо:

 

 

 

 

 

 

 

1)построить полигон относительных частот;

2)найти эмпирическую функцию распределения и построить еѐ график;

3)вычислить выборочное среднее значение x и несмещѐнную оценку

дисперсии s2 .

86. Задан интервальный статистический ряд

xi xi 1

10 12

12 14

14 16

16 18

18 20

ni

7

20

44

21

8

Необходимо:

 

 

 

 

1)

построить гистограмму относительных частот;

 

2)

найти эмпирическую функцию распределения и построить еѐ график;

3)

вычислить выборочное среднее значение x и несмещѐнную оценку

дисперсии s2 .

87. Построить гистограмму относительных частот и найти выборочное среднее значение x по выборке

xi xi 1

17-23

23-29

29-35

35-41

41-47

47-53

53-59

ni

6

15

22

26

16

10

5

88.Даны результаты измерения в метрах длин хлыстов хвойных пород, поступающих на деревообрабатывающее предприятие для раскроя на бревна:

xi xi 1

10 12

12 14

14 16

16 18

18 20

ni

3

16

30

34

17

Необходимо:

1)построить гистограмму относительных частот;

2)найти эмпирическую функцию распределения и построить еѐ график;

3)вычислить выборочное среднее значение x и несмещѐнную оценку дисперсии.

89.Даны значения процентного выхода пиломатериалов из бревен 1-го сорта лиственных пород:

xi xi 1 ,%

21 25

25 29

29 33

33 37

37 41

ni

6

21

45

20

8

Необходимо:

1)построить гистограмму относительных частот;

2)определить гипотетическую плотность закона распределения, исходя из вида гистограммы относительных частот;

3)найти доверительный интервал для математического ожидания

сдоверительной вероятностью 0,95 .

90.Даны результаты измерения в см. комлевых диаметров хлыстов березы, поступающей на деревообрабатывающее предприятие для раскроя на бревна:

xi xi 1 ,см

13 17

17 21

21 25

25 29

29 33

ni

4

19

40

26

11

Необходимо:

1)построить гистограмму относительных частот;

2)определить гипотетическую плотность закона распределения, исходя из вида гистограммы относительных частот;

3) найти доверительный интервал для математического ожидания

сдоверительной вероятностью 0,95 .

91.Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если среднее квадратическое

отклонение 4 , выборочная средняя x B =10,2, объем выборки n 25.

Соседние файлы в предмете Высшая математика