Вариационные принципы теории упругости

1. Основные понятия вариационного исчисления

Введем понятие функционала и элементы анализа функционалов по сравнительной аналогии с понятием функции и элементами анализа функций.

Задать функцию означает поставить в соответствие каждому значению аргумента x из области определения [a,b] значение функции f(x):

Задать функционал означает поставить в соответствие каждому элементу из некоторого множества функций f(x) значение функционала Ф(f):

Дифференциал (приращение) аргумента функции – разность между двумя неограниченно близкими значениями аргумента:

Вариация функции (аргумента функционала) – разность между двумя неограниченно близкими функциями из множества определения функционала:

Дифференциал функции – величина, характеризующая изменение значения функции при изменении значения аргумента на величину :

Вариация функционала - величина, характеризующая изменение значения функционала при вариации аргумента :

Экстремум (максимум, минимум, точка перегиба) функции – точка, в которой выполняются условия Необходимое условие экстремума функции:

Стационарная точка (максимум, минимум, седловая точка) функционала – точка, в которой выполняются условия Необходимое условие стационарности функционала:

Пример функционала, определенного на множестве распределений деформаций , - потенциальная энергия деформации линейно упругого тела :

Общим ограничением является требование удовлетворения распределениями условиям совместности. Ниже, при анализе равновесия линейно упругого тела будут вводиться более ограничительные требования для множеств, на которых определяется функционал потенциальной энергии упругой деформации.

2. Кинематически возможные и статически возможные состояния

Рассмотрим краевую задачу теории упругости для тела объема , ограниченного поверхностью . Основные уравнения: уравнения равновесия, геометрические соотношения и закон линейной упругости представим, соответственно, в виде

Система основных уравнений имеет единственное решение при задании краевых условий статического и кинематического типов

Пусть в объеме задано механическое состояние

при этом перемещения и деформации связаны геометрическими соотношениями, а деформации и напряжения - законом упругости. Такое механическое состояние будем называть кинематически возможным (допустимым), если распределение перемещений удовлетворяет кинематическим условиям задачи:

Пусть – распределения напряжений, деформаций и перемещений в объеме в состоянии равновесия при действии заданных внешних нагрузок Придадим перемещениям в состоянии равновесия вариацию , не нарушая кинематических краевых условий. Полученное распределение называется смежным кинематически возможным распределением перемещений, а вариация кинематически допустимой вариацией поля перемещений.

Отметим, что вследствие выполнения условий имеет место соотношение

Введем понятие статически допустимого механического состояния. Пусть некоторое распределение напряжений в области удовлетворяет уравнениям равновесия и статическим краевым условиям

В соответствии с законом Гука данному распределению напряжений будет соответствовать поле деформаций

где - тензор упругих податливостей.

Распределения называются статически возможными (допустимыми).

Придадим распределению напряжений в истинном состоянии равновесия малое возмущение (вариацию) не нарушая требований статической допустимости. Полученное распределение напряжений называется смежным статически допустимым, а вариация - статически допустимой вариацией поля напряжений.

Нетрудно показать, что вариации удовлетворяют однородным уравнениям равновесия в области V и однородным статическим краевым условиям на границе

Следствие: Единственным механическим состоянием, являющимся одновременно кинематически и статически допустимым (возможным), является механическое состояние, удовлетворяющее всем основным уравнениям и краевым условиям (истинное состояние равновесия).