Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекція 2 Осн. алг. структури.doc
Скачиваний:
89
Добавлен:
03.11.2018
Размер:
2.31 Mб
Скачать

29

Лекція 2 Тема: Основні алгебраїчні структури

План лекції:

  1. Алгебраїчні операції та алгебраїчні структури.

  2. Півгрупи. Групи: означення, приклади, підгрупа, критерій підгрупи, суміжні класи за підгрупою, нормальний дільник, факторгрупа. Циклічні групи. Групи підстановок.

  3. Кільця і поля: підкільця, підполя, критерій підкільця, критерій підполя. Ідеали кілець. Факторкільце по двосторонньому ідеалу.

  4. Ізоморфізми та гомоморфізми алгебраїчних структур.

1. Алгебраїчні операції та алгебраїчні структури

1.1 Поняття бінарної алгебраїчної операції

Кожна математична теорія вивчає множини, на яких введені певні відношення. Алгебра вивчає множини, на яких визначені відношення, що мають назву алгебраїчних операцій. Прикладами алгебраїчних операцій є додавання і множення чисел, многочленів, алгебраїчних дробів, додавання векторів площини, додавання матриць, об’єднання і переріз множин, кон’юнкція і диз’юнкція висловлень, додавання і множення функцій (наприклад, синусів і косинусів), композиція відображень тощо. Ці операції виконуються над парами елементів однієї і тієї ж множини: над парами чисел, многочленів, векторів, функцій. Тому їх називають бінарними алгебраїчними операціями або просто бінарними операціями. Дамо нижче загальне означення бінарної алгебраїчної операції, якому, зокрема, задовольняють перелічені вище операції.

Означення. Нехай – довільна множина елементів . Бінарною алгебраїчною операцією (або законом композиції) на множині називається довільне (але фіксоване) відображення декартового квадрата в . Таким чином, будь-якій впорядкованій парі елементів однозначно ставиться у відповідність певний третій елемент тієї ж множини .

Іноді замість пишуть , а ще частіше конкретну бінарну операцію позначають спеціальним символом: +, , &, , , і т.д. Але коли вивчають загальні властивості бінарних операцій, тобто властивості, притаманні багатьом конкретним бінарним операціям, то кажуть про довільні операції, для позначення яких будемо користуватися символами і .

Із означення випливає: для того, щоб відображення було б бінарною алгебраїчною операцією на множині , необхідно, щоб задовольняло б вимоги:

1) було б бінарним;

2) було б завжди виконуваним, тобто завжди можна було б знайти результат виконання операції – елемент ;

3) було б однозначним, тобто елемент був єдиним;

4) задовольняло б умову замкненості, тобто щоб обов’язково .

Приклади.

1. Нехай – відповідно множини цілих, раціональних, дійсних та комплексних чисел. Бінарними алгебраїчними операціями на цих множинах є, наприклад, дії додавання, віднімання та множення.

2. Нехай – множина всіх квадратних матриць порядку з дійсними елементами. Бінарними алгебраїчними операціями на множині є, наприклад, дії додавання, віднімання та множення матриць.

3. Дія знаходження модуля дійсного числа не є бінарною операцією на множині .

Звичайно бінарна операція на скінченній множині з елементів задається так званою таблицею Келі, яка являє собою квадратну -таблицю з двома входами, кожній клітинці якої відповідає впорядкована пара елементів даної множини, елемент стоїть у вибраному рядку, елемент – у вибраному стовпці.

Приклад 1. У множині задано бінарну операцію так, що є остачею від ділення добутку на число 4. Задати бінарну операцію таблицею Келі.

Розв'язання. Таблиця Келі для операції у множині має вигляд:

0

1

2

3

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

2

0

2

0

2

3

0

3

2

1