- •2.5. Признак сходимости ограниченной монотонной последовательности. Число «е» как предел последовательности рациональных чисел
- •2.6. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши сходимости последовательности
- •2.7. Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы
- •2. Задачи Группа а
- •Группа б
- •Группа в
2.5. Признак сходимости ограниченной монотонной последовательности. Число «е» как предел последовательности рациональных чисел
Определение 1. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если такое, что .
Определение 2. Последовательность называется ограниченной, если такое, что .
С геометрической токи зрения это означает, что все члены последовательности находятся в некоторой окрестности (-окрестности) точки .
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если такое, что .
Пример 1. Докажем, что последовательность с общим членом ограничена.
Решение. Мы имеем , поэтому
.
Это означает, что заданная последовательность ограничена и сверху и снизу, т.е. является ограниченной.
Определение 4. Последовательность называется строго возрастающей, если , и строго убывающей, если .
Пример 2. Докажем, что последовательность с общим членом возрастает.
Решение. Мы имеем , поэтому
.
Так как , то для всех выполняется неравенство , значит возрастает.
Определение 5. Последовательность называется невозрастающей (неубывающей), если .
Все такие последовательности называют монотонными. Монотонные последовательности всегда ограничены хотя бы с одной стороны: невозрастающая последовательность ограничена сверху, а неубывающая последовательность – снизу своим первым членом. Если же монотонная последовательность ограничена и с другой стороны, то она сходится.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство: Пусть {an} неубывающая и ограниченная сверху последовательность. Так как она ограничена сверху, то существует sup{an}. Пусть s =sup{an}. Покажем, что . По определению верхней грани для любого ε>0 существует номер N такой, что Поскольку последовательность неубывающая, при любом nN получаем т.е. что и требовалось доказать.
Пример 3. Важнейшим примером применения признака Вейерштрасса является доказательство существования предела последовательности
, n N (1)
Покажем, что данная последовательность является монотонной и ограниченной сверху.
Решение. По формуле бинома Ньютона
(a+b)n=an+a n-1 ·b+n-2·b2+…n
Полагая a=1, b=, получим
n=1+
=1+1+
или
n=1+1+ (2)
Из равенства (2) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины (1-), (1-), …возрастают. Поэтому последовательность{xn}= -возрастающая, при этом
(1+)n >2 (3)
Покажем что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства (2) на единицу; правая часть увеличится, получим неравенство
<1 +1+
Усилим полученное неравенство, заменив числа 3, 4, 5,…, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:
<1 +
Сумму в скобке найдем по формуле суммы членов геометрической прогрессии:
1+
Поэтому <1 + 2=3 (4)
Итак, последовательность ограниченна, при этом для выполняются неравенства (3) и (4):
2<< 3
Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса последовательность
xn=, nN, имеет предел, обозначаемый обычно буквой е:
Поскольку и последовательность (1) строго возрастает, то . Можно показать, что число – иррациональное и даже трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами.