Глава 2
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
2.1. Определение последовательности, способы задания,
операции над последовательностями
Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется отображение , определенное на множестве всех натуральных чисел Кратко ее обозначают символом . Число называется общим членом последовательности. Иными словами, последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Пример 1. . Тогда имеем , и т.д.
Заметим, что обратная операция – нахождение выражения -го члена последовательности по нескольким первым членам этой последовательности – не имеет однозначного решения.
Последовательности могут быть заданы и соотношением, задающим выражение -го члена последовательности через ее предыдущие члены.
Пример 2. Равенства ; , , () определяют соответственно арифметическую и геометрическую прогрессии. Рекуррентно задана и последовательность Фибоначчи , в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Полное рекуррентное задание этой последовательности таково: , , , .
Определение 2. Последовательности и называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей и (для частного ).
2.2. Предел последовательности. Частичные пределы, верхний и нижний пределы
Рассмотрим последовательность с общим членом , при члены последовательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение «неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число мы ни взяли, начиная с некоторого номера все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от .
Определение 1. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такой номер , что при всех выполняется неравенство . Обозначение . Кратко определение предела записывается так: .
Неравенство равносильно двойному неравенству , которое показывает, что элементы при находятся в окрестности точки . Поэтому геометрически определение предела формулируется так.
Определение 2. Число называется пределом последовательности , если для любой -окрестности точки найдется такое натуральное число , что все значения , для которых , попадут в -окрестность точки .
Ясно, что чем меньше тем больше число , но в любом случае внутри -окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.
Выясним геометрический смысл определения предела последовательности.
Неравенство |xn – a|<ε равносильно неравенствам -ε < xn - а <ε или а - ε < xn < a+ ε, которые показывают, что элемент xn находится в ε -окрестности точки а.
Рис.1
Поэтому определение предела последовательности геометрически
можно сформулировать так: число а называется пределом последовательности {xn}, если для любой ε-окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения xn , для которых n > N, попадут в ε -окрестность точки а (см. рис. 1).
Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Например, последовательность не имеет предела.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Для доказательства утверждения применим метод от противного.
Пусть и . Если А1≠А2, то фиксируем непересекающиеся окрестности U(A1), U(A2) точек А1, А2. В качестве таковых можно взять, например, δ-окрестности этих точек при δ<│А1–А2│. По определению предела найдем числа N1, N2 такие, что все члены последовательности с номерами n>N1 попадут в окрестность точки А1, а с номерами n>N2 в окрестность точки А2. Тогда при n>max{N1, N2} получим xn U(A1)U(A2). Но это невозможно, так как пересечение U(A1)U(A2)=.
Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.
Доказательство: Пусть. Полагая в определении предела ε=1, найдем номер N такой, что n>N справедливо неравенство│xn–A│<1. Значит, при n>N имеем │xn│<│A│+1. Если же теперь взять М>max{│x1│,│x2│,…,│xn│,│A│+1}, то получим, что n>N все члены последовательности ограничены │xn│<М.
Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажем, что .
Решение. Зададим произвольное и рассмотрим модуль разности между -м членом последовательности и числом 1: . В соответствии с определением предела последовательности мы должны указать номер такой, что выполняется неравенство
. (1)
Для отыскания номера решим неравенство (1) относительно . Получим
. (2)
Из неравенства (2) следует, что в качестве можно взять целую часть числа : . В самом деле, если , то , т.е. справедливо неравенство (2), а значит, выполняется неравенство (1).
Итак, для произвольного мы указали такой номер , чтовыполняется неравенство. Это и означает по определению предела последовательности, что .
Пусть – некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую последовательность целых положительных чисел (). Выберем из члены с номерами :
.
Полученная числовая последовательность называется подпоследовательностью последовательности .
Теорема 3. Если , то любая подпоследовательность сходится к при .
Определение 3. Число называется предельной точкой (или частичным пределом) последовательности , если из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к .
Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.
Определение 4. Число называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки содержится бесконечно много членов последовательности .
На языке последовательностей теорема Больцано-Вейерштрасса формулируется так.
Теорема 4 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Из теоремы 3 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.
Из теоремы 4 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Определение 5. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательности и обозначается .
Очевидно, если сходится, то . Если последовательность не ограничена сверху (снизу), то полагают .
Пример 2. Доказать расходимость последовательности .
Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности и (). Очевидно, что , . Таким образом, последовательность имеет две предельные точки: и , а поэтому не может быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.
Пример 3. Найти все предельные точки последовательности , верхний и нижний пределы этой последовательности.
Решение. Каждое из чисел , , , , , встречается в последовательности бесконечно много раз, поскольку . Поэтому каждое указанное число является предельной точкой последовательности . Других предельных точек последовательность не имеет, так как если число не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки , не содержащая ни одного члена последовательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является , а наибольшей 1, т.е. , .