- •Partea I şirul de experimente independente lucrare de laborator nr. 1 Formula Bernulli. Teorema limită locală a lui Moivre – Laplace
- •Lucrare de laborator nr. 2 Aplicarea Teoremei Integrale Moivre-Laplace. Teorema lui Bernulli.
- •Probleme tipice care conduc la aplicarea teoremei lui Moivre-Laplace.
- •Lucrare de laborator nr. 3 Distribuţia/repartiţia Poisson ca aproximare a distribuţiei binomiale.
- •Anexă b, Funcţia de repartiţie normală normată Laplace (n(0,1))
- •Valorile funcţiei
- •Anexa c. Repartiţia Poisson
Partea I şirul de experimente independente lucrare de laborator nr. 1 Formula Bernulli. Teorema limită locală a lui Moivre – Laplace
În multe sarcini din inginerie sînt precăutate experimente independente repetate de multiple ori, denumite experimente Bernulli, sau experimente care cad sub incidenţa schemei lui Bernulli. Fiecare experiment de acest gen are unul din cele două rezultate posibile, deseori numit succes şi eşec. Probabilitatea succesului p nu se schimbă de la un experiment la altul.
Adesea este necesar să se cunoască exact care este probabilitatea ca un eveniment de succes A, care are aceeaşi probabilitate de apariţie p, să se realizeze exact de k ori (sau de cel puţin k ori) într-un număr de n experimente independente? Or, altfel spus, fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie p. Care este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de k ori?
Reamintim, că răspunsul la această întrebare poate fi formal obţinut din teoria probabilităţii folosind aşa numita Schemă a lui Bernulli, care se întroduce după cum urmează.
Schemă
a lui Bernulli
Fie
experimentul
aleator căruia i se
asociază spaţiul evenimente-lor elementare
şi fie
experimentul
constituit din efectuarea acestor n
experimente
căruia i se asociază
,
evenimentele elementare ale căruia sunt
cu
,
,
şi probabilităţile
(1)
verificând condiţia
Astfel de experimente
se numesc
independente.
Ca
exemplu ne poate servi experimentul
constând
în „extragerea
a cate o bilă din n
urne
care conţin bile
albe şi negre în anumite proporţii”.
Aici
este vorba despre n
experimente
independente
care
constituie experimentul global
Rezultatul
experimentului
-
„extragerea
unei bile din a i-
a
urnă”
este
unde
înseamnă
apariţia unei bile albe sau negre, cu probabilitatea
Evenimentele
care
sunt rezultatele experimentului
pot
fi
considerate
evenimente elementare ale produsului cartezian:
şi
Probabilitatea
evenimentului A:
„să apară exact k bile albe" în
urma efectuării experimentului E, va fi
(2)
1°
Schema lui Bernoulli.
Fie
că se efectuează n
experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă
un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie
Care
este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de
ori?
Fiecare
rezultat al celor n
experimente
este un eveniment elementar
,
(
conţine
evenimente
elementare), unde
sau
ceea
ce înseamnă că în experimentuls-a
realizat A
sau
s-a realizat
,
Deoarece
experimentele sunt independente, în conformitate cu (1),
probabilităţile evenimentelor
elementare
vor
fi
Atunci,
probabilitatea unei succesiuni
în
care evenimentul A
s-a
realizat
de
ori,
iar contrarul său de
ori
este
Numărul
tuturor evenimentelor elementare
în
care evenimentul A
se
realizează în
experimente
din n
efectuate
este egal cu numărul permutărilor cu repetiţie de
elemente, din care
sunt
egale cu A şi
cu
adică
Notând
probabilitatea căutată cu
,
avem:
Această
formulă se numeşte formula
lui Bernoulli sau
formula
schemei binomiale. Evident
că probabilitatea
coincide
cu coeficientul lui
din
dezvoltarea
binomului
Funcţia
se
numeşte funcţie generatoare a probabilităţilor.
Probabilitatea
ca evenimentul A
să
nu apară în n
experimente
va fi
deci,
probabilitatea ca cel puţin o dată să apară va fi
iar
ca să apară cel puţin de
ori
Probabilitatea
ca evenimentul A
să
apară cel mult de k
ori
va fi:
Modelul
experimentului ce urmează o schemă Bernoulli (schema bilei
întoarse) este când se face o selecţie
ordonată cu întoarcere de volum n
dinlr-o urnâ ce conţine
bile
albe şi
bile
negre.
Probabilitatea
ca o bilă extrasă să fie albă –
şi
probabilitatea
ca ea să fie neagră –
În
acest caz
va
da probabilitatea ca din
extrageri
cu întoarcere selecţia să conţină exact
bile
albe şi anume:
Şi aşa deci, probabilitatea de apariţie a unor succese exact de k în n experimente independente se determină de formula Bernulli
, k= 0,1,2,…,n (1.1)
unde p – probabilitatea evenimentului de succes A şi q = 1-p - probabilitatea de eşec a acestui eveniment într-un experiment aleator concret.
Totalitatea de numere determinate prin formulă (1.1) se numeşte distribuţie binomială a probabilităţilor.
Valoarea k=k0, în care probabilitatea (1.1) ia valoarea maximală se numeşte cel mai probabil număr de succese.
Dacă se întîmplă că np - q să fie număr întreg, atunci există două cele mai probabile numere de succese, şi anume:
,
Dacă np - q nu este număr întreg, atunci există mai probabil număr de succese k = [np + p], unde [...] – este simbolul părţii întregi a numărului. Remarcă: pentru evaluarea probabilităţilor prin formule ce ar evita combinările când n este mare, care se ştie că sunt greu de calculat, atunci când p nu este foarte apropiat de zero, se folosesc teoremele lui Moivre-Laplace sub forma integrală şi forma locală.
3°
Teorema
integrala a lui Moivre-Laplace.
Fie ca se face un sir de experimente independente, astfel ca in
fiecare experiment probabilitatea de realizare a evenimentului A
este p. Daca
este
numarul de aparitii ale lui A in primele n experimente, atunci
pentru orice
avem
sau
pentru orice interval
E
usor de inteles ca
unde
este
numarul de aparitii ale evenimentului A
in
experiment de rang i.
4°
Teorema
locala a lui Moivre-Laplace. Fie
numarul
de apariţii ale unui eveniment A in n experimente indepetidente şi
p probabilitatea acestui eveniment in fiecare experiment. Atunci,
pentru
unde
Aceasta
teorema ne da o formula asimptotica, prin inlermediul careia pulem
aproxima formula
lui Bernuli/repartitia
binomiala prin cea normala
cand
n
este
suficient de mare:
Dacă p este mic, iar n suficient de mare pentru evaluarea lui , se foloseşte formula lui Poisson
Să
considerăm variabila aleatoare
care
urmează o repartiţie binomială. Dacă n creşte necontenit, pe
când p descreşte, astfel încât
rămâne
constant, atunci repartiţia binomială tinde către repartiţia
Polsson.
Cu
aceste notaţii putem scrie
Deci,
notând
,
avem
Astfel, pentru valori mari ale n în loc de formula Bernulli, se utilizează teorema locală Moivre – Laplace, care oferă o formula asimptotică, ce permite găsirea aproximativă a probabilităţii :
, где , (1.2)
Sarcina 1.1 Se efectuează un experiment după Schema lui Bernulli. Probabilitatea de producere a unui eveniment A în fiecare din cele n experimente independente este egală cu p. Găsiţi cel mai probabil număr de succese de producere a evenimentului A în n experimente. Calculaţi probabilitatea cu precizia 0,0001 (Tabelul 1). Scopul problemei – a atrage atenţia că pentru valori mari ale lui n toate probabilităţile devin aproape egale cu zero, şi numai pentru valorile lui k aproape de cel mai probabil număr , probabilităţile cît de cît vizibil diferă de zero. Vom ilustra acest fapt printr-un exemplu numeric. Fie n = 50, p = 1 / 3. Cele mai probabile numere de succese de producere a evenimentului A în n experimente sînt doua:
şi
Valoarea probabilităţii сu precizia de până la ε=0,0001, determinată conform formulei (1.1) sunt prezentate în Tabelul 1
K |
Pn(k) |
K |
Pn(k) |
K |
Pn(k) |
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 |
0.0000 0.0001 0.0004 0.0012 0.0033 0.077 0.0157 0.0287 0.0470 0.0679 |
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 |
0.0879 0.1077 0.1178 0.1178 0.1080 0.0910 0.0704 0.0503 0.0332 0.0202 |
24 25 26 27 28 29 30 31 |
0.0113 0.0059 0.0028 0.0012 0.0005 0.002 0.0001 0.000 |
Sarcina 1.2 Probabilitatea defectării unui articol într-o perioadă de timp t este egală cu p. Determinaţi probabilitatea ca într-o perioadă de timp t, din toate articolele existente, se vor defecta exact k articole. Fie n = 10000, p = 0,005, k = 40. Probabilitatea defectării a 40 de articole:
Pentru valori mari ale n şi k, calcularea probabilităţilor Pn(k) după formula (1.1) prezintă dificultăţi considerabile. În astfel de cazuri, vom utiliza formula asimptotică (1.2), care permite găsirea probabilităţii Pn(k). Astfel obţinem
(1.3)
În acest exemplu,
,
Determinăm φ (1,42) = 0,1456 din Anexa A2 sau B din şi atunci
Calculele exacte, fără aplicarea teoremei Moivre - Laplace, dau valoarea
Pentru a ilustra caracterul aproximării determinate de formula (1.2), vom examina următorul exemplu. Sarcina 1.3 Fie probabilitatea evenimentului A este egală cu p. Exprimaţi în dependenţă de valoarea k, mărimile , probabilităţile , mărimile , precum şi funcţia, cu precizie de până la a patra zecimală pentru fiecare număr de experimente n specificat în Tabelele 2, 3, 4 (De exemplu, pentru n = 4; 25;100 şi p = 0,2)
Tabelul 2
n = 4
k |
x |
φ(x) |
||
0 1 2 3 4 |
-1 0.25 1.50 2.75 4.00 |
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0013 |
0.3277 0.3277 0.1229 0.0205 0.0013 |
0.2420 0.3867 0.1295 0.0091 0.0001 |
Tabelul 3
n=25
k |
x |
φ(x) |
k |
x |
φ(x) |
||||
0 1 2 3 4 5 6 7 |
-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 |
0.0037 0.0236 0.0708 0.1358 0.1867 0.1960 0.1633 0.1108 |
0.0075 0.0472 0.1417 0.2715 0.3734 0.3920 0.3267 0.2217 |
0.0175 0.0540 0.1295 0.2420 0.3521 0.3989 0.3521 0.2420 |
8 9 10 11 12 13 14 14 |
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 4.5 |
0.0623 0.0294 0.0118 0.0040 0.0012 0.0003 0.0000 0.0000 |
0.1247 0.0589 0.0236 0.0080 0.0023 0.0006 0.0000 0.0000 |
0.1295 0.0540 0.0175 0.0044 0.0009 0.0001 0.0000 0.0000 |
Tabelul 4
n=100
k |
x |
φ(x) |
k |
x |
φ(x) |
||||
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
-3.00 -2.75 -2.50 -2.25 -2.00 -1.75 -1.50 -1.25 -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 -0.00 |
0.0006 0.0015 0.0034 0.0069 0.0127 0.0216 0.0335 0.0481 0.0638 0.0788 0.0909 0.0981 0.0993 |
0.0023 0.0059 0.0134 0.0275 0.0510 0.0863 0.1341 0.1923 0.2553 0.3154 0.3636 0.3923 0.3972 |
0.0044 0.0091 0.0175 0.0317 0.0540 0.0862 0.1295 0.1826 0.2420 0.3011 0.3521 0.3867 0.3989 |
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 |
0.0946 0.0849 0.0720 0.0577 0.0439 0.0316 0.0217 0.0141 0.0880 0.0052 0.0029 0.0016 |
0.3787 0.3396 0.2879 0.2309 0.1755 0.1266 0.0867 0.0565 0.0351 0.0208 0.0117 0.0003 |
0.3867 0.3521 0.3011 0.2420 0.1826 0.1295 0.0862 0.0540 0.0317 0.0175 0.0091 0.0044 |
Prezentarea geometrică a funcţiei y = φ (x) şi a punctelor ( k,), modificate prin metoda descrisă mai jos, adică punctele ((k), (k), unde şi , k=0,1,2,…,n.
Notă: pentru ca în grafic punctele (k, ) pentru valorile n examinate să nu coincidă cu axa absciselor, vom alege scări diferite pe axele de coordonate.
Examinarea, în loc de abscisele k şi ordonatele , а axei absciselor şi ordonatelor respectiv, înseamnă:
-
Deplasarea originii coordonatelor în punctul (np, 0), situat în apropierea abscisei, care corespunde ordonatei maxime ;
-
Creşterea unităţii scării pe axa absciselor de ori, semnifică comprimarea graficului pe axa absciselor de ori;
-
Micşorarea unităţii scării pe axa ordonatelor de ori, semnifică extinderea graficului pe axa ordonatelor de ori;
Pentru a obţine o idee mai clară în ce măsură se poate utiliza formula asimptotică (1.2) pentru diferite valori finite ale lui n, adică a înlocui legea binomială pentru a calcula probabilităţile prin funcţia y = φ (x), vom precăuta următorul exemplu.
Sarcina 1.4 Fie şi . Calculaţi , , şi fiind date valorile n, p-ul indicat şi .
Conform teoremei locale Moivre - Laplace raportul ar trebui să tindă la 1, cînd . Notă: Pentru simplitate, luăm doar acele valori ale lui n şi p, pentru care . De exemplu, dacă , n = 25, 100, 400, 1156. Anume pentru ele , cînd k = 15, 55, 210, 596. Rezultatele calculelor sunt prezentate în Tabelul 5
-
n
-
/
25
100
400
1156
0.09742
0.04847
0.024207
0.014236
0.09679
0.04839
0.024194
0.014234
0.00063
0.00008
0.000013
0.000002
1.0065
1.0030
1.0004
1.0001
SARCINĂ Pentru a efectua lucrarea de laborator nr. 1 - a obţine abilităţi în evaluarea parametrilor de bază cum ar fi: , (k), (k), и . Date iniţiale. Fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie p. Care este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de k ori?
Pentru efectuarea calculelor este necesară definirea următorilor parametri iniţiali:
-
n-numărul de experimente,
-
p - probabilitatea evenimentului de succes A.
La ieşire urmează să fie obţinute - valorile , (k), (k), φ(x) şi k, reprezentate sub forma unui tabel special.
Notă: În procesul de calcul, se va calcula utilizînd diferite formule de calcul în dependenţă de raportul n, k şi p. Pentru sarcina 1.3 se vor prezenta graficele respective.
Date iniţiale pentru sarcina 1.1
Numărul variantei |
p |
n |
Numărul variantei |
p |
n |
Numărul variantei |
p |
n |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.9 0.8 0.7 0.8 0.5 0.8 |
80 80 80 80 80 70 70 70 70 70 60 60 60 60 60 70 |
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.9 0.8 0.7 0.8 0.5 0.6 |
50 50 50 50 50 40 40 40 40 40 30 30 30 30 30 30 |
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
0.7 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.9 0.8 0.7 0.8 0.5 |
90 90 90 90 90 90 100 100 100 100 100 55 65 75 85 95 |
Date iniţiale pentru sarcina 1.2
Numărul variantei |
p |
n |
k |
Numărul variantei |
p |
n |
k |
Numărul variantei |
p |
n |
k |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.05 0.09 0.04 0.03 0.02 0.01 0.06 |
900 1000 800 1100 1200 600 700 1100 1000 900 900 800 700 1300 1400 1000 |
80 90 60 70 100 110 70 90 100 80 40 30 50 60 100 200 |
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.02 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.08 |
950 1150 850 1150 1250 650 750 1150 1050 950 950 850 750 1350 1450 1050 |
85 95 65 75 105 115 75 95 105 85 45 35 55 65 105 205 |
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0.09 0.05 0.07 0.08 0.09 0.05 0.08 0.09 |
1000 1100 900 1200 1300 700 800 1200 1100 1100 1200 900 800 1400 1500 1700 |
90 100 70 80 110 120 80 100 110 90 50 40 60 70 110 210 |
Date iniţiale pentru sarcina 1.3
Numărul variantei |
n |
p |
Numărul variantei |
n |
p |
Numărul variantei |
n |
p |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
9;16;81;144 9;16;81;144 9;16;81;144 9;16;81;144 9;16;81;144 4;25;100;400 4;25;100;400 4;25;100;400 5;36;121;625 5;36;121;625 5;36;121;625 5;36;121;625 5;36;121;625 5;36;121;625 6;25;100;400 6;25;100;400 |
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 |
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
9;18;81;162 9;18;81;162 9;18;81;162 9;18;81;162 9;18;81;162 4;25;100;400 4;25;100;400 4;25;100;400 5;36;121;635 5;36;121;635 5;36;121;635 5;36;121;635 5;36;121;635 5;36;121;635 6;25;100;410 6;25;100;410 |
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 |
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
18;36;72;144 18;36;72;144 1836;72;144 18;36;72;144 18;36;72;144 4;25;100;200 4;25;100;200 4;25;100;200 5;35;121;625 5;35;121;625 5;35;121;625 5;35;121;625 5;35;121;625 5;35;121;625 6;35;100;400 6;35;100;400 |
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 |
Date iniţiale pentru sarcina 1.4
Numărul variantei |
n |
p |
(k) |
Numărul variantei |
n |
p |
(k) |
Numărul variantei |
n |
p |
(k) |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 |
25; 100; 400; 1156 25; 100; 400; 1156 25; 100; 400; 1156 36; 169; 625; 1225 36; 169; 625; 1225 36; 169; 625; 1225 16; 144; 576; 1296 16; 144; 576; 1296 16; 144; 576; 1296 9; 81; 484; 1089 9; 81; 484; 1089 9; 81; 484; 1089 16; 100; 400;1225 25; 144; 484; 1296 9; 100; 400; 1225 16; 100; 400;1225 |
0.2 0.1 0.8 0.1 0.2 0.5 0.5 0.8 0.9 0.1 0.2 0.5 0.9 0.8 0.2 0.5 |
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 |
25; 100; 400; 1521 16; 100; 400; 1156 25; 100; 400; 1024 36; 169; 625; 1225 16; 169; 625; 1225 36; 169; 625; 1225 16; 144; 576; 1296 36; 144; 576; 1296 16; 144; 576; 1296 9; 81; 484; 1089 16; 81; 484; 1089 9; 81; 484; 1089 16; 100; 400;1225 25; 144; 484; 1296 9; 100; 400; 1225 16; 100; 400;1225 |
1/2 1/2 1/2 1/3 1/4 1/5 1/4 1/3 1/2 1/5 1/4 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
|
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |
33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 |
25; 100; 400; 1156 36; 100; 961; 1156 9; 100; 400; 1156 36; 169; 625; 1225 16; 169; 625; 1225 25; 169; 625; 1225 16; 144; 576; 1296 25; 144; 576; 1156 36; 144; 576; 1296 9; 81; 484; 1089 16; 81; 484; 1369 25; 81; 484; 1089 16; 100; 400;1225 9; 144; 484; 1296 36; 400; 900; 1225 25; 100; 400;1225 |
1/4 1/4 1/4 1/2 1/2 1/4 1/3 1/3 1/3 1/4 1/4 1/3 1/2 1/2 1/2 1/2
|
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |