Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lucrare de laborator_1_ SARCINI_1_3_la PROBABIL....doc
Скачиваний:
10
Добавлен:
03.11.2018
Размер:
2.05 Mб
Скачать

Partea I şirul de experimente independente lucrare de laborator nr. 1 Formula Bernulli. Teorema limită locală a lui Moivre – Laplace

În multe sarcini din inginerie sînt precăutate experimente independente repetate de multiple ori, denumite experimente Bernulli, sau experimente care cad sub incidenţa schemei lui Bernulli. Fiecare experiment de acest gen are unul din cele două rezultate posibile, deseori numit succes şi eşec. Probabilitatea succesului p nu se schimbă de la un experiment la altul.

Adesea este necesar să se cunoască exact care este probabilitatea ca un eveniment de succes A, care are aceeaşi probabilitate de apariţie p, să se realizeze exact de k ori (sau de cel puţin k ori) într-un număr de n experimente independente? Or, altfel spus, fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie p. Care este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de k ori?

Reamintim, că răspunsul la această întrebare poate fi formal obţinut din teoria probabilităţii folosind aşa numita Schemă a lui Bernulli, care se întroduce după cum urmează.

Schemă a lui Bernulli Fie experimentul aleator căruia i se asociază spaţiul evenimente-lor elementare şi fie experimentul constituit din efectuarea acestor n experimente căruia i se asociază , evenimentele elementare ale căruia sunt cu , , şi probabilităţile

(1)

verificând condiţia

Astfel de experimente se numesc independente.

Ca exemplu ne poate servi experimentul constând în „extragerea a cate o bilă din n urne care conţin bile albe şi negre în anumite proporţii”.

Aici este vorba despre n experimente independente care constituie experimentul global Rezultatul experimentului - extragerea unei bile din a i- a urnăeste unde înseamnă apariţia unei bile albe sau negre, cu probabilitatea Evenimentele care sunt rezultatele experimentului pot fi considerate evenimente elementare ale produsului cartezian: şi

Probabilitatea evenimentului A: „să apară exact k bile albe" în urma efectuării experimentului E, va fi

(2)

1° Schema lui Bernoulli. Fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie Care este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de ori?

Fiecare rezultat al celor n experimente este un eveniment elementar , ( conţine evenimente elementare), unde sau ceea ce înseamnă că în experimentuls-a realizat A sau s-a realizat ,

Deoarece experimentele sunt independente, în conformitate cu (1), probabilităţile evenimentelor elementare vor fi

Atunci, probabilitatea unei succesiuni în care evenimentul A s-a realizat de ori, iar contrarul său de ori este

Numărul tuturor evenimentelor elementare în care evenimentul A se realizează în experimente din n efectuate este egal cu numărul permutărilor cu repetiţie de elemente, din care sunt egale cu A şi cu adică

Notând probabilitatea căutată cu , avem:

Această formulă se numeşte formula lui Bernoulli sau formula schemei binomiale. Evident că probabilitatea coincide cu coeficientul lui din dezvoltarea binomului

Funcţia se numeşte funcţie generatoare a probabilităţilor.

Probabilitatea ca evenimentul A să nu apară în n experimente va fi

deci, probabilitatea ca cel puţin o dată să apară va fi

iar ca să apară cel puţin de ori

Probabilitatea ca evenimentul A să apară cel mult de k ori va fi:

Modelul experimentului ce urmează o schemă Bernoulli (schema bilei întoarse) este când se face o selecţie ordonată cu întoarcere de volum n dinlr-o urnâ ce conţine bile albe şi bile negre.

Probabilitatea ca o bilă extrasă să fie albă –

şi

probabilitatea ca ea să fie neagră –

În acest caz va da probabilitatea ca din extrageri cu întoarcere selecţia să conţină exact bile albe şi anume:

Şi aşa deci, probabilitatea de apariţie a unor succese exact de k în n experimente independente se determină de formula Bernulli

, k= 0,1,2,…,n (1.1)

unde p – probabilitatea evenimentului de succes A şi q = 1-p - probabilitatea de eşec a acestui eveniment într-un experiment aleator concret.

Totalitatea de numere determinate prin formulă (1.1) se numeşte distribuţie binomială a probabilităţilor.

Valoarea k=k0, în care probabilitatea (1.1) ia valoarea maximală se numeşte cel mai probabil număr de succese.

Dacă se întîmplă că np - q să fie număr întreg, atunci există două cele mai probabile numere de succese, şi anume:

,

Dacă np - q nu este număr întreg, atunci există mai probabil număr de succese k = [np + p], unde [...] – este simbolul părţii întregi a numărului. Remarcă: pentru evaluarea probabilităţilor prin formule ce ar evita combinările când n este mare, care se ştie că sunt greu de calculat, atunci când p nu este foarte apropiat de zero, se folosesc teoremele lui Moivre-Laplace sub forma integrală şi forma locală.

Teorema integrala a lui Moivre-Laplace. Fie ca se face un sir de experimente independente, astfel ca in fiecare experiment probabilitatea de realizare a evenimentului A este p. Daca este numarul de aparitii ale lui A in primele n experimente, atunci pentru orice avem

sau pentru orice interval

E usor de inteles ca unde este numarul de aparitii ale evenimentului A in experiment de rang i.

Teorema locala a lui Moivre-Laplace. Fie numarul de apariţii ale unui eveniment A in n experimente indepetidente şi p probabilitatea acestui eveniment in fiecare experiment. Atunci, pentru

unde

Aceasta teorema ne da o formula asimptotica, prin inlermediul careia pulem aproxima formula lui Bernuli/repartitia binomiala prin cea normala cand n este suficient de mare:

Dacă p este mic, iar n suficient de mare pentru evaluarea lui , se foloseşte formula lui Poisson

Să considerăm variabila aleatoare care urmează o repartiţie binomială. Dacă n creşte necontenit, pe când p descreşte, astfel încât rămâne constant, atunci repartiţia binomială tinde către repartiţia Polsson.

Cu aceste notaţii putem scrie

Deci, notând , avem

Astfel, pentru valori mari ale n în loc de formula Bernulli, se utilizează teorema locală Moivre – Laplace, care oferă o formula asimptotică, ce permite găsirea aproximativă a probabilităţii :

, где , (1.2)

Sarcina 1.1 Se efectuează un experiment după Schema lui Bernulli. Probabilitatea de producere a unui eveniment A în fiecare din cele n experimente independente este egală cu p. Găsiţi cel mai probabil număr de succese de producere a evenimentului A în n experimente. Calculaţi probabilitatea cu precizia 0,0001 (Tabelul 1). Scopul problemeia atrage atenţia că pentru valori mari ale lui n toate probabilităţile devin aproape egale cu zero, şi numai pentru valorile lui k aproape de cel mai probabil număr , probabilităţile cît de cît vizibil diferă de zero. Vom ilustra acest fapt printr-un exemplu numeric. Fie n = 50, p = 1 / 3. Cele mai probabile numere de succese de producere a evenimentului A în n experimente sînt doua:

şi

Valoarea probabilităţii сu precizia de până la ε=0,0001, determinată conform formulei (1.1) sunt prezentate în Tabelul 1

K

Pn(k)

K

Pn(k)

K

Pn(k)

5

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0.0000

0.0001

0.0004

0.0012

0.0033

0.077

0.0157

0.0287

0.0470

0.0679

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

0.0879

0.1077

0.1178

0.1178

0.1080

0.0910

0.0704

0.0503

0.0332

0.0202

24

25

26

27

28

29

30

31

0.0113

0.0059

0.0028

0.0012

0.0005

0.002

0.0001

0.000

Sarcina 1.2 Probabilitatea defectării unui articol într-o perioadă de timp t este egală cu p. Determinaţi probabilitatea ca într-o perioadă de timp t, din toate articolele existente, se vor defecta exact k articole. Fie n = 10000, p = 0,005, k = 40. Probabilitatea defectării a 40 de articole:

Pentru valori mari ale n şi k, calcularea probabilităţilor Pn(k) după formula (1.1) prezintă dificultăţi considerabile. În astfel de cazuri, vom utiliza formula asimptotică (1.2), care permite găsirea probabilităţii Pn(k). Astfel obţinem

(1.3)

În acest exemplu,

,

Determinăm φ (1,42) = 0,1456 din Anexa A2 sau B din şi atunci

Calculele exacte, fără aplicarea teoremei Moivre - Laplace, dau valoarea

 

Pentru a ilustra caracterul aproximării determinate de formula (1.2), vom examina următorul exemplu. Sarcina 1.3 Fie probabilitatea evenimentului A este egală cu p. Exprimaţi în dependenţă de valoarea k, mărimile , probabilităţile , mărimile , precum şi funcţia, cu precizie de până la a patra zecimală pentru fiecare număr de experimente n specificat în Tabelele 2, 3, 4 (De exemplu, pentru n = 4; 25;100 şi p = 0,2)

Tabelul 2

n = 4

k

x

φ(x)

0

1

2

3

4

-1

0.25

1.50

2.75

4.00

0.4096

0.4096

0.1536

0.0256

0.0013

0.3277

0.3277

0.1229

0.0205

0.0013

0.2420

0.3867

0.1295

0.0091

0.0001

Tabelul 3

n=25

k

x

φ(x)

k

x

φ(x)

0

1

2

3

4

5

6

7

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

0.0037

0.0236

0.0708

0.1358

0.1867

0.1960

0.1633

0.1108

0.0075

0.0472

0.1417

0.2715

0.3734

0.3920

0.3267

0.2217

0.0175

0.0540

0.1295

0.2420

0.3521

0.3989

0.3521

0.2420

8

9

10

11

12

13

14

14

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

4.5

0.0623

0.0294

0.0118

0.0040

0.0012

0.0003

0.0000

0.0000

0.1247

0.0589

0.0236

0.0080

0.0023

0.0006

0.0000

0.0000

0.1295

0.0540

0.0175

0.0044

0.0009

0.0001

0.0000

0.0000

Tabelul 4

n=100

k

x

φ(x)

k

x

φ(x)

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-3.00

-2.75

-2.50

-2.25

-2.00

-1.75

-1.50

-1.25

-1.00

-0.75

-0.50

-0.25

-0.00

0.0006

0.0015

0.0034

0.0069

0.0127

0.0216

0.0335

0.0481

0.0638

0.0788

0.0909

0.0981

0.0993

0.0023

0.0059

0.0134

0.0275

0.0510

0.0863

0.1341

0.1923

0.2553

0.3154

0.3636

0.3923

0.3972

0.0044

0.0091

0.0175

0.0317

0.0540

0.0862

0.1295

0.1826

0.2420

0.3011

0.3521

0.3867

0.3989

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.75

2.00

2.25

2.50

2.75

3.00

0.0946

0.0849

0.0720

0.0577

0.0439

0.0316

0.0217

0.0141

0.0880

0.0052

0.0029

0.0016

0.3787

0.3396

0.2879

0.2309

0.1755

0.1266

0.0867

0.0565

0.0351

0.0208

0.0117

0.0003

0.3867

0.3521

0.3011

0.2420

0.1826

0.1295

0.0862

0.0540

0.0317

0.0175

0.0091

0.0044

Prezentarea geometrică a funcţiei y = φ (x) şi a punctelor ( k,), modificate prin metoda descrisă mai jos, adică punctele ((k), (k), unde şi , k=0,1,2,…,n.

Notă: pentru ca în grafic punctele (k, ) pentru valorile n examinate să nu coincidă cu axa absciselor, vom alege scări diferite pe axele de coordonate.

Examinarea, în loc de abscisele k şi ordonatele , а axei absciselor şi ordonatelor respectiv, înseamnă:

  1. Deplasarea originii coordonatelor în punctul (np, 0), situat în apropierea abscisei, care corespunde ordonatei maxime ;

  2. Creşterea unităţii scării pe axa absciselor de ori, semnifică comprimarea graficului pe axa absciselor de ori;

  3. Micşorarea unităţii scării pe axa ordonatelor de ori, semnifică extinderea graficului pe axa ordonatelor de ori;

Pentru a obţine o idee mai clară în ce măsură se poate utiliza formula asimptotică (1.2) pentru diferite valori finite ale lui n, adică a înlocui legea binomială pentru a calcula probabilităţile prin funcţia y = φ (x), vom precăuta următorul exemplu.

Sarcina 1.4 Fie şi . Calculaţi , , şi fiind date valorile n, p-ul indicat şi .

Conform teoremei locale Moivre - Laplace raportul ar trebui să tindă la 1, cînd . Notă: Pentru simplitate, luăm doar acele valori ale lui n şi p, pentru care . De exemplu, dacă , n = 25, 100, 400, 1156. Anume pentru ele , cînd k = 15, 55, 210, 596. Rezultatele calculelor sunt prezentate în Tabelul 5

n

-

/

25

100

400

1156

0.09742

0.04847

0.024207

0.014236

0.09679

0.04839

0.024194

0.014234

0.00063

0.00008

0.000013

0.000002

1.0065

1.0030

1.0004

1.0001

SARCINĂ Pentru a efectua lucrarea de laborator nr. 1 - a obţine abilităţi în evaluarea parametrilor de bază cum ar fi: , (k), (k), и . Date iniţiale. Fie că se efectuează n experimente independente şi fiecare dintre ele pune în evidenţă un eveniment A cu aceeaşi probabilitate de apariţie p. Care este probabilitatea ca evenimentul A sa se realizeze exact de k ori?

Pentru efectuarea calculelor este necesară definirea următorilor parametri iniţiali:

  1. n-numărul de experimente,

  2. p - probabilitatea evenimentului de succes A.

La ieşire urmează să fie obţinute - valorile , (k), (k), φ(x) şi k, reprezentate sub forma unui tabel special.

Notă: În procesul de calcul, se va calcula utilizînd diferite formule de calcul în dependenţă de raportul n, k şi p. Pentru sarcina 1.3 se vor prezenta graficele respective.

Date iniţiale pentru sarcina 1.1

Numărul variantei

p

n

Numărul variantei

p

n

Numărul variantei

p

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.9

0.8

0.7

0.8

0.5

0.8

80

80

80

80

80

70

70

70

70

70

60

60

60

60

60

70

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.9

0.8

0.7

0.8

0.5

0.6

50

50

50

50

50

40

40

40

40

40

30

30

30

30

30

30

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

0.7

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.9

0.8

0.7

0.8

0.5

90

90

90

90

90

90

100

100

100

100

100

55

65

75

85

95

Date iniţiale pentru sarcina 1.2

Numărul variantei

p

n

k

Numărul variantei

p

n

k

Numărul variantei

p

n

k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.05

0.09

0.04

0.03

0.02

0.01

0.06

900

1000

800

1100

1200

600

700

1100

1000

900

900

800

700

1300

1400

1000

80

90

60

70

100

110

70

90

100

80

40

30

50

60

100

200

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.02

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.08

950

1150

850

1150

1250

650

750

1150

1050

950

950

850

750

1350

1450

1050

85

95

65

75

105

115

75

95

105

85

45

35

55

65

105

205

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.09

0.05

0.07

0.08

0.09

0.05

0.08

0.09

1000

1100

900

1200

1300

700

800

1200

1100

1100

1200

900

800

1400

1500

1700

90

100

70

80

110

120

80

100

110

90

50

40

60

70

110

210

Date iniţiale pentru sarcina 1.3

Numărul variantei

n

p

Numărul variantei

n

p

Numărul variantei

n

p

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

9;16;81;144

9;16;81;144

9;16;81;144

9;16;81;144

9;16;81;144

4;25;100;400

4;25;100;400

4;25;100;400

5;36;121;625

5;36;121;625

5;36;121;625

5;36;121;625

5;36;121;625

5;36;121;625

6;25;100;400

6;25;100;400

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

9;18;81;162

9;18;81;162

9;18;81;162

9;18;81;162

9;18;81;162

4;25;100;400

4;25;100;400

4;25;100;400

5;36;121;635

5;36;121;635

5;36;121;635

5;36;121;635

5;36;121;635

5;36;121;635

6;25;100;410

6;25;100;410

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

18;36;72;144

18;36;72;144

1836;72;144

18;36;72;144

18;36;72;144

4;25;100;200

4;25;100;200

4;25;100;200

5;35;121;625

5;35;121;625

5;35;121;625

5;35;121;625

5;35;121;625

5;35;121;625

6;35;100;400

6;35;100;400

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

Date iniţiale pentru sarcina 1.4

Numărul variantei

n

p

(k)

Numărul variantei

n

p

(k)

Numărul variantei

n

p

(k)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

25; 100; 400; 1156

25; 100; 400; 1156

25; 100; 400; 1156

36; 169; 625; 1225

36; 169; 625; 1225

36; 169; 625; 1225

16; 144; 576; 1296

16; 144; 576; 1296

16; 144; 576; 1296

9; 81; 484; 1089

9; 81; 484; 1089

9; 81; 484; 1089

16; 100; 400;1225

25; 144; 484; 1296

9; 100; 400; 1225

16; 100; 400;1225

0.2

0.1

0.8

0.1

0.2

0.5

0.5

0.8

0.9

0.1

0.2

0.5

0.9

0.8

0.2

0.5

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

25; 100; 400; 1521

16; 100; 400; 1156

25; 100; 400; 1024

36; 169; 625; 1225

16; 169; 625; 1225

36; 169; 625; 1225

16; 144; 576; 1296

36; 144; 576; 1296

16; 144; 576; 1296

9; 81; 484; 1089

16; 81; 484; 1089

9; 81; 484; 1089

16; 100; 400;1225

25; 144; 484; 1296

9; 100; 400; 1225

16; 100; 400;1225

1/2

1/2

1/2

1/3

1/4

1/5

1/4

1/3

1/2

1/5

1/4

1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

25; 100; 400; 1156

36; 100; 961; 1156

9; 100; 400; 1156

36; 169; 625; 1225

16; 169; 625; 1225

25; 169; 625; 1225

16; 144; 576; 1296

25; 144; 576; 1156

36; 144; 576; 1296

9; 81; 484; 1089

16; 81; 484; 1369

25; 81; 484; 1089

16; 100; 400;1225

9; 144; 484; 1296

36; 400; 900; 1225

25; 100; 400;1225

1/4

1/4

1/4

1/2

1/2

1/4

1/3

1/3

1/3

1/4

1/4

1/3

1/2

1/2

1/2

1/2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]