22

Вариант № 1-5.

1. Вычислить выражения:

2. Вычислить iⁿ.

3. Решить систему:

4. Доказать, что два комплексных числа сопряжены тогда и только

тогда, когда их сумма и произведение  действительные числа.

5. Найти комплексные числа, сопряженные своему квадрату.

6. Найти тригонометрическую форму чисел:

7. Вычислить выражения:

  8. Вычислить

Ответы

Задание № 2-2.

1. Вычислить:

2. Составить таблицу умножения для группы корней 6-ой степени из 1.

3. Выписать все корни из 1 и указать первообразные для степеней 3 и 12.

4. Решить уравнение:

Ответы.

1а. 3. № 1, 2, №1, 5, 7, 11.

1б.

1в. . 4.

1г.

Задание № 3-1.

1. Решить системы уравнений методом Гаусса:

а) б)

в) г)

д) е)

2. Исследовать систему и найти общее решение в зависимости от параметров:

а) б)

в) г)

Ответы.

1а. x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 2, x₄ =2.

1б. x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 1/3, x₄ = 3/2.

1в. x₁ = x₄ , x₂ = x₄ , x₃ = x₄ .

1г. x₃ = 2x₂  x₁ , x₄ = 1.

1д. Решений нет.

1e. x₁ = 0, x₂ = 2, x₃ = 5/3, x₄ =  4/3. 

2a.  = 0  сист.несовм., 

2б.    0,   3:

 = 0:  

2в. Ненулевые решения только при 

2г.

a=1, b=1/2: решения зависят от одного параметра, в остальных случаях решений нет.

Задание № 4-3.

1. Вычислить определители:

.

2. Пользуясь теоремой Крамера, решить системы:

3. Перемножить перестановки в указанном и обратном порядке.

4. Найти обратную перестановку: .

5. Определить число инверсий в последовательностях:

а) 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8; б) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2; в) 2, 4, 6, ... , 2n, 1, 3, 5, ... , 2n-1.

6. Определить четность перестановок:

7. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков ?

8. Выписать все слагаемые, входящие в определитель 5-го порядка и имеющие вид

.

9. Руководствуясь только определением детерминанта, вычислить коэффициенты

Ответы

1а.  1б. 1. 1в. 1. 1г. 5. 1д. 3abc  a³  b³  c³ . 1е. 2.

2a.х₁ =сos(),x₂ = sin().2б. x = 3, y =  2, z = 2. 2в.x₁ = 1,x₂ = 2,x₃ = 2.  3а. 3б. 3в.

4а. 4б. 5а. 13. 5б. 18. 5в.

6а. 2(+). 6б. 7(). 6в. (n-1), (+), n  неч. 7а. +. 7б. +. 7в. .

8. а₁₄ а₃₂ 9. 2, 1.

Задание 5-4.

1. Как изменится определитель порядка n , если:

а) из каждой строки, кроме последней вычесть предыдущую строку, а из последней

вычесть прежнюю первую строку ?

б) к каждому столбцу, начиная со второго прибавить предыдущий столбец, а к

первому прибавить прежний последний столбец ?

в) Чему равен определитель, у которого сумма строк с четными номерами равна

сумме строк с нечетными номерами ?

2. Пользуясь свойствами определителей, доказать тождество:

3. Вычислить определители:

4. Предложить схему вычисления определителей 3-го порядка,

отличающуюся от “правила “треугольников”.

5. Предложить схему вычисления определителей 4-го порядка.

Ответы

  1а. Обратится в 0. 3а. 4. 3д. 3(x²  1)(x²  4).

1б. Четн пор.- 0, 3б. 27. 3е. b₁b₂ ...b_n.

нечетн.-удвоится. 3в. 1/35 (привести 3ж. .

1в. 0. к общ. знам.,

2. Док-во. вынести за опр).

3г. 5.