Введение

Физические основы электронагрева (ФОЭ) полагаются вводной в электротехнологию дисциплиной, поскольку процесс электронагрева служит составной частью большинства электротехнологий. Процесс электронагрева подчиняется закономерностям, хорошо известным в теории электричества и теплопередачи. Электронагрев изучается и исследуется в основном экспериментально и на моделях. Теоретическое моделирование процесса электронагрева базируется на законах, теоремах и постулатах. Это, в первую очередь, законы Ома, Джоуля–Ленца, электромагнитной индукции Фарадея, закон полного тока, теорема Гаусса, закон теплопроводности Фурье, закон теплоотдачи Ньютона–Рихмана и законы теплового излучения.

Математическая модель электронагрева строится на уравнениях, вытекающих из перечисленных законов, краевых условиях, конкретизирующих объект моделирования, и допущениях, призванных упростить решение задачи.

Для интервалов температур, при которых с известной степенью точности решения допускается считать уравнения с постоянными коэффициентами, иногда можно найти аналитическое выражение для искомой функции. Аналитические решения дают удобное и наглядное представление о качественной стороне физики процесса электронагрева. Более точную оценку процесса для конкретного сочетания значений коэффициентов уравнения можно получить численными методами решения задачи. Для общей оценки процесса приходится вычислять массив конкретных значений и разрабатывать процедуру обработки массива. Однако самым надежным способом исследования процесса электронагрева остается эксперимент, несмотря на его большую трудоемкость и затратность.

Дисциплина ФОЭ в настоящем курсе представляется в четырех частях:

1. Законы и уравнения, характеризующие электронагрев.

2. Нагрев внутренними источниками тепла.

3. Нагрев внешними потоками тепла.

4. Сопутствующие электронагреву явления.

Содержательная часть материала лекций освещает только физику электронагрева. Технология и оборудование для реализации конкретного процесса электронагрева вынесены за рамки настоящей дисциплины.

1. Законы и уравнения, характеризующие электронагрев

1.1. Законы и уравнения, характеризующие электромагнитные процессы электронагрева

1.1.1. Закон Ома в дифференциальной форме

Закон Ома, открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению U):

(1.1)

где R – электрическое сопротивление проводника.

Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, от его материала и температуры, а также, чего не следует забывать, от конфигурации (распределения) тока в проводнике. В случае провода смысл сопротивления не вызывает сомнений. В более общем случае объемного распределения тока уже нельзя говорить о сопротивлении, пока не указаны или расположение подводящих к интересующемус проводнику проводов, или конфигурация тока.

В простейшем случае однородного цилиндрического проводника сопротивление

(1.2)

где l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения; – удельное электрическое сопротивление. Последнее зависит от материала проводника и его температуры.

Найдем связь между плотностью тока j и полем Е в той же точке проводящей среды. Ограничимся случаем изотропного проводника, в котором направления векторов j и Е совпадают.

Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными вектору j, а значит, и вектору Е. Если поперечное сечение цилиндра равно dS, а его длина – dl, то на основании (1.1) и (1.2) можно записать для такого элементарного цилиндра

(1.2)

и после соответствующих сокращений получим уже в векторном виде

(1.3)

где – удельная электропроводимость среды.

Соотношение (1.3) и выражает закон Ома в дифференциальной форме. Оно не содержит дифференциалов (производных), а свое название получило потому, что в нем устанавливается связь между величинами, относящимися к одной и той же точке проводника. Иначе говоря, это соотношение выражает локальный закон Ома.

Если бы все действующие на носители тока силы сводились к силам электростатического поля, то под действием этих сил положительные носители перемещались бы из мест с большим потенциалом к местам с меньшим потенциалом, а отрицательные носители двигались бы в обратном направлении. Это вело бы к выравниванию потенциалов, и в результате все соединенные между собой проводники приобрели бы одинаковый потенциал – ток бы прекратился. Иными словами, при наличии лишь кулоновских сил стационарное поле должно быть полем статическим. Чтобы этого не произошло, в цепи постоянного тока наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала , должны существовать участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания , т. е. против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сил не электростатического происхождения, называемых сторонними силами.

Таким образом, для поддержания постоянного тока необходимы сторонние силы, действующие либо на отдельных участках цепи, либо во всей цепи. Физическая природа сторонних сил может быть весьма различной. Они могут быть обусловлены, например, химической и физической неоднородностью проводника – таковы силы, возникающие при соприкосновении разнородных проводников (гальванические элементы, аккумуляторы) или проводников с различной температурой (термоэлементы) и др.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность Е*. Этот вектор численно равен сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд.

Теперь обратимся к плотности тока. Если под действием электрического поля Е в проводнике возникает ток плотности то очевидно, что под совместным действием поля Е и поля сторонних сил Е* плотность тока будет

(1.4)

Это уравнение обобщает закон (1.3) на случай неоднородных¹ участков проводящей среды. Оно выражает обобщенный закон Ома в локальной форме.

Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, причем S может быть и не одинаковой по длине провода. Разделим уравнение (1.4) на , полученное выражение умножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положительное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2:

(1.5)

Преобразуем подынтегральное выражение у первого интеграла: заменим на и на , где – проекция вектора на направление вектора . Далее учтем, что – величина алгебраическая и зависит от того, как направлен вектор по отношению к : если , то  > 0, если же , то < 0. И последнее, заменим , на , где I – сила тока, величина тоже алгебраическая (как и ). Поскольку для постоянного тока величина I одинакова во всех сечениях цепи, ее можно вынести за знак интеграла. В результате получим:

(1.6)

Выражение в (1.6) определяет не что иное, как сопротивление участка цепи длиной , а интеграл от этого выражения – полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.

Теперь обратимся к правой части (1.5). Первый интеграл здесь – это разность потенциалов , а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (ЭДС) , действующую на данном участке цепи:

(1.7)

Эта величина, как и сила тока I, является алгебраической: если ЭДС способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то E₁₂ > 0, если же препятствует, то E₁₂ < 0.

После всех указанных преобразований уравнение (1.4) с учетом (1.7) будет иметь следующий вид:

(1.8)

Уравнение (1.8) выражает интегральную форму закона Ома – для неоднородного участка цепи в отличие от уравнения (1.3), представляющего тот же закон в локальной форме.