15Однородные системы уравнений

Однородные системы уравнений:

Однородная система АХ=0 всегда сов­местна, так как имеет тривиальное решение Х=0. Для существо­вания нетривиального решения однородной системы необходимо и достаточно, чтобы r=rang A<n (при т=п это условие означает, что det A=0). Пусть Q  Rⁿ множество всех решений однородной системы. Всякий базис в множестве Q состоит из n – r векторов e₁,...,e_n-r. Соответствующая ему в каноническом базисе система вектор-столбцов Е₁,..., Е_n–r наз. фундаментальной системой решений. Общее решение однородной системы имеет вид X= c₁E₁+...+c_n–rE_n–r,

где C₁,..., C_n–r – произвольные постоянные. Базисные решения Е₁,..., Е_n–r могут быть получены по правилу Крамера, если свободным неизвестным придавать пооче­редно значение 1, полагая остальные равными 0.