5Скалярное произведение

Скалярное произведение:

Углом между векторами считается тот из углов, который не превосходит . Если угол прямой, то векторы наз. ортогональными. Определение: Скалярным произведением двух векторов наз. число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хоть один из векторов нулевой, то угол не определен и скаляр­ное произведение по определению считают равным нулю.

Скалярное произведение векторов а и b обозначается (а,b). т.о., мы можем записать (а,b) = |a| |b| cos,

где ( – угол между векторами а и b. Очевидны следую­щие свойства операции скалярного умножения:

(1) Скалярное умножение коммутативно, т.е., для любых векторов а и b справедливо равенство (а,b) = (b,а). (2) (а,а) = |а|² для любого вектора а. (3) Скалярное произведение = 0 тогда и толь­ко тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них = 0. (4) Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют соотношениям (e₁,e₁) = (e₂,e₂) = (e₃,e₃) =1 Предложения: [1] Если базисные векторы e₁,е₂,е₃ ортогональны, то компоненты любого вектора а находятся по формулам: ₁ = (a,e₁)/|e₁|²; ₂ = (a,e₂)/|e₂|²; ₃ = (a,e₃)/|e₃|²; В частности, если базис ортонормированный, ₁ = (a,e₁); ₂ = (a,e₂); ₃ = (a,e₃);

[2] Для лю­бых векторов а,b,с и любых чисел  и b выполнено равенство (a+b,c) = (a,c) + (b,c). В частности, (а,с) = (а,c) и (a+b,c) = (a,с) + (b,с). Теорема 1. Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов выражается через их компоненты по формуле (a,b) = ₁₁ + ₂₂ + ₃₃. Теорема позволяет написать выражение длины вектора через его компоненты в ортонормированном базисе: || = ₁²+₂²+₃² ***, а так же выражение угла между векторами через их компоненты в ортонормированном базисе:

Используя формулу ***, мы можем вычислить расстояние между точками, если заданы их координаты в декартовой системе координат. В самом деле, пусть точки А и В имеют соответственно координаты (x,y,z) и (x₁,y₁,z₁). Тогда расстояние между ними равно |AB| = (x₁–x)²+(y₂–y)²+(z₃–z)².