Розділ iі матриці та визначники

§1. Матриці та дії над ними.

Поняття матриці

Матрицею розмірності називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків та n стовпчиків. Розмірність матриці позначається символом dimA. Числа, що складають матрицю, називаються її елементами.

Матриці позначаються великими латинськими літерами, елементи матриці – відповідними маленькими латинськими літерами та нумеруються двома індексами, перший – номер рядка матриці, де знаходиться цей елемент, другий –номер стовпчика.

Матриця записується у вигляді

,

або скорочено

Дві матриці називаються рівними, якщо мають однакові розмірності та їх відповідні елементи співпадають.

Види матриць

Матрицею-рядком називається матриця розмірності .

Матрицею-стовпчиком називається матриця розмірності .

Нульовою називається матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Головною діагоналлю матриці називається множина її елементів з однаковими індексами.

Квадратною матрицею називається матриця, яка має однакову кількість рядків та стовпчиків.

Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (стовпчиків).

Верхньотрикутною називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться під головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Нижньотрикутною називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться над головною діагоналлю, дорівнюють нулю.

Діагональною називається квадратна матриця, у якій ненульовими можуть бути лише елементи головної діагоналі.

Одиничною називається діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці. Одинична матриця довільного порядку позначається літерою Е.

Операції над матрицями

Очевидно, що матриця є узагальненням поняття числа (число можна розглядати як матрицю розмірності ), отже для матриць можна визначити операції аналогічні операціям над числами., але деякі з них мають специфічні властивості по відношенню до відповідних операцій над числами.

1. Множення матриці А на число . Добутком матриці А на число називається матриця В=А, елементи якої розраховуються за формулою .

2. Додавання матриць. Сумою двох матриць А та В однакової розмірності називається матриця С=А+В, елементи якої розраховуються за формулою .

3. Транспонування матриць. Транспонованою до матриці А називається матриця , елементи якої розраховуються за формулою .

4. Множення матриць. Операція множення матриці А на матрицю В визначена, якщо кількість стовпчиків першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, тобто , . За цієї умови добутком матриць А та В називається матриця С розмірності , елементи якої розраховуються за формулою .

Приклад 1. Обчислити добуток матриць та .

Очевидно, що , , отже .

= == =.

Зауваження. Операція множення матриць має специфічні властивості порівняно з операцією множення чисел.

1. З того, що існує добуток , не випливає, що існує добуток . Зокрема, для матриць з прикладу 1 не існує добутку .

2. Якщо навіть добутки та існують, то вони можуть мати різні розмірності. Очевидно, що розмірності цих добутків рівні, якщо А, В є квадратними матрицями однакової розмірності.

3. У випадку, коли добутки та існують та мають однакову розмірність, взагалі кажучи, , тобто порушується комутативний (перестановочний) закон.

Приклад 2. , .

, , тобто .

В частинному випадку комутативному закону задовольняє добуток довільної квадратної матриці А на одиничну матрицю відповідної розмірності, тобто . З цього випливає, що одинична матриця при множенні матриць відіграє ту ж роль, що й число 1 при множенні чисел.

4. Добуток двох ненульових матриць може бути нульовою матрицею.

Приклад 3. .

5. Піднесення матриці А до цілого додатного степеня s позначається та визначається як добуток s матриць рівних А, тобто . Очевидно, ця операція визначена лише для квадратних матриць.

6. Ділення матриць. Введемо цю операцію по аналогії з діленням чисел: частку можна розглядати як добуток числа b на обернене до числа a, тобто , де обернене число визначається із співвідношення .

Оскільки роль числа 1 для матриць відіграє одинична матриця Е, то можна ввести поняття матриці, оберненої до даної матриці А.

Оберненою до матриці А називається матриця , що задовольняє співвідношення , де Е – одинична матриця. Очевидно, що обернену можна визначати лише для квадратних матриць (оскільки інакше розмірності добутків будуть різними).

Оскільки закон комутативності для матричного множення на виконується, то можна визначити два різних ділення матриці B на матрицю A: ділення зліва та ділення справа за умови, що обернена матриця існує.

Методи знаходження обернених матриць будуть розглянуті далі.