Лекция №1

Тема: Основы математического анализа

План:

1. Понятие производной функции

2. Правила дифференцирования функции

3. Понятие дифференциала функции

4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала

5. Частные производные и полный дифференциал

6. Понятие неопределенного интеграла, свойства

7. Методы интегрирования

8. Понятие определенного интеграла, свойства

9. Дифференциальные уравнения

1. Понятие производной функции

Рассмотрим функцию , определенную в интервале [a, b].

Пусть x_o и x – два произвольных значения из этого интервала. Обозначим x – x_o = Δx, откуда x = х_o + Δx. Говорят, что для перехода от значения аргумента х_o к значению x первоначальному значению придано приращение Δx. Прира­щением Δy функции , соответствующим приращению Δx аргумента x в точке x_o (рис. 1), называется разность

Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o). (1)

Рис. 1

Пусть определена на некотором промежутке и пусть x_o – некоторая точка этого промежутка. Пусть Δx – прираще­ние к значению аргумента такое, что (x_o + Δx) не выходит за пределы упомянутого промежутка, а Δy = f(x_o + Δx) – f(х_o) – соответствующее приращение функции.

Определение. Если существует , то этот предел называется производной от функции по переменной x в точке x_o (обозначения: или у'_х). Итак:

у'_х = = (2)

Если предел (2) конечен, то производная называется ко­нечной, если же этот предел бесконечен, то у'_х — бесконечная производная.

Если конечная производная существует в каждой точке неко­торого множества, то она оказывается функцией от x , заданной на этом множестве.

Геометрическая и механическая интерпретации производной

1. Если x = f(t) есть уравнение прямолинейного движения точки,

то производная представляет собой скорость точки в момент времени t.

Быстрота протекания физических, химических, биологиче­ских и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Пример. Предположим, что температура тела Т есть убы­вающая функция времени: Т = f(t). Пусть t — фиксированный момент времени. Если t получает приращение Δt, температура T уменьшается на ΔT; тогда отношение ΔT / Δt представляет среднюю скорость охлаждения тела. Предел этого отно­шения при Δt , т.е. = f '(t) выражает скорость охлаждения тела в данный момент t.

Таким образом, скорость охлаждения тела равна производ­ной температуры тела по времени.

2. Производная f'(х) функции геометрически пред­ставляет собой угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

При этом если существует касательная, то существует и про­изводная, и наоборот. Случаю касательной, не параллельной оси

Рис. 2 (а и б – конечные производные в точке М₀; в – бесконечная производная в точке М₀)

ОУ, отвечает конечная производная, параллельной оси ОУ — бесконечная производная (рис. 2).

2. Правила дифференцирования

1. Производная от постоянной величины равна нулю, т. е. если у = C, то y' = 0:

C' = 0. (3)

2. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных слагаемых:

(u + v + w + . . .)' = u' + v' + w' + . . . (3)

3. Производная произведения двух функций определяется формулой:

(u ∙ v )' = u' ∙ v + u ∙ v' (4)

4. Производная частного от деления двух функций опреде ляется формулой:

(5)

Пример 1. Найти производную функции .

Используя таблицу производных, получаем:

,

Пример 2. Найти производную функции y = x ∙ sinx.

Используя правило дифференцирования произведения, получим:

.