Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Методичка по математике.doc
Скачиваний:
58
Добавлен:
07.11.2018
Размер:
2.06 Mб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования Красноярский юридический техникум

Сборник задач и упражнений

по математике

Учебно-методическое пособие для специальности:

080114 Земельно–имущественные отношения

(базовый курс ПСО)

2010 г.

Содержание

Министерство образования и науки Российской Федерации 1

Сборник задач и упражнений 1

по математике 1

Учебно-методическое пособие для специальности: 1

080114 Земельно–имущественные отношения 1

(базовый курс ПСО) 1

2010 г. 1

Содержание 2

Пояснительная записка 3

I.Функция 4

Понятие функции. Способы задания и свойства 4

Решение типовых заданий 6

Упражнения и задания для самостоятельной работы 8

II. Предел функции. 11

Методы вычисления пределов функции. 11

Основные теоремы о пределах 12

Решение типовых заданий 13

Упражнения и задания для самостоятельной работы 19

III.Непрерывность функции 25

Решение типовых заданий 26

Упражнения и задания для самостоятельной работы 28

Список рекомендуемой литературы 33

Пояснительная записка

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для организации практических занятий и процесса самоподготовки студентов второго курса, обучающихся по специальности 080114 земельно-имущественное хозяйство, изучающих раздел «Функции. Пределы функции. Непрерывность функции». Цель данного методического пособия оказать студентам помощь в овладении методикой решений практических задач по математике.

По данному разделу предусматривается 4 практических занятий, в том числе выполнение студентами на последнем занятии аудиторной контрольной работы.

Каждое практическое занятие содержит следующие структурные элементы:

1).10-минутная проверочная работа по учебному материалу предыдущего занятия;

2). Теоретическое введение по теме занятия, решение типовых задач;

3). Самостоятельная работа студентов;

4). Методические указания и задания для подготовки к следующему занятию.

На 10-минутную проверочную работу и теоретическое введение с решением типовых задач отводится 1 академический час. Второй час отводится на самостоятельную работу и выдачу домашнего задания и указаний для самоподготовки студентов к следующему занятию.

Предлагаемые типовые задачи, и задачи для самостоятельного решения составляют набор «обязательных» задач для всех студентов. Дополнительные задачи могут быть предложены наиболее подготовленным студентам.

  1. Функция Понятие функции. Способы задания и свойства

Определение функции: Если каждому элементу х множество Х (х € Х) ставиться в соответствие вполне определенный элемент у множества y (yY), то говорят, что множестве, Х задана функция у=f(х).

При этом х называется независимой переменной (или аргументом), у- зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствие.

Множество Х называется областью определения (или существования) функции, а множество Y - областью значений функции.

Если множество Х специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у =f(х) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал , так как 10–х> если же переменная х обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок [0; 10].

Способы задания функций. Существует несколько способов задания функции.

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида у=f(х). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически.

Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

имеет два аналитических выражения: х2 (при х< 0) и х + 3 (при х 0).

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(х), например таблица логарифмов.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции — множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты — соответствующие им значения функции у=f(х).

г) Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: f(х)=1, если х рационально; f(х) = 0, если х иррационально.

Рассмотрим основные свойства функций.

1. Четность и нечетность. функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения f(-х)=f(x) и нечетной, если f(-х)=-f(х). В противном случае функция у =f(х) называется функцией общего вида.

Например, функция у=х2 является четной (так как f(-х)=(-х)2 =x2 и f(-х)=f(х), а функция у = х3 - нечетной (так как f(-х)=(-х)3 =-х3 и f(-х)=-f(x)

В то же время, например, функция у = х2 + х3 является функцией общего вида, так как f(-х)= (-х)2 + (-х)3 = х23 f(-х)f(х) и f(-х)-f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (см., например, график функции у=х2 на рис.1.), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (см., например, график функции у=х3 на рис.2.)

Рисунок 1 Рисунок 2

2. Монотонность. Функция f=f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему (меньшему) значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х1, х2 € Х и х2> х1. Тогда функция возрастает на промежутке Х, если Х, если

f(х2) >f(х1), и убывает, если f(х2) <f(х1) (см. рис. 3).

Рисунок 3.

Функции, возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

3. Ограниченность. Функция f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число M>0, что для любого х € Х. В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция у=sinх ограничена на всей числовой оси, так как либо для любого х € R.

4. Периодичность. Функция у=f(х) называется периодической с периодом Т≠0, если для любых х из области определения функции f(х +Т)=f(х).

Например, функция у=sinх имеет период Т=2π, так как для любых х sin(х+2π)=sinx