Лабораторна робота №2
Тема: Побудова та аналіз багаточинникової економетричної моделі.
Мета: Оцінити параметри багаточинникової економетричної моделі методом 1 МНК й дати їм економічне тлумачення.
Короткі теоретичні відомості
Для кількісного опису зв’язку між результативною ознакою і кількома чинниками необхідно побудувати економетричну модель, що базується на регресійному аналізі.
У загальному випадку ця модель має вигляд
, (2.1)
де – вектор змінної, що характеризує результативну ознаку; – вектор незалежних змінних, що характеризують чинники моделі; – стохастична складова. Залежну змінну називають також пояснювальною, ендогенною змінною; незалежні змінні – пояснюючими, екзогенними змінними.
У найпростішому випадку економетрична модель є лінійною, аналітична форма якої записується у вигляді:
, (2.2)
де , – невідомі параметри моделі.
В матричній формі лінійна багаточинникова економетрична модель має вигляд:
Y=XB+e (2.3)
де – вектор ендогенних змінних; – матриця екзогенних змінних; – вектор оцінок параметрів моделі; – вектор залишків.
Параметри моделі (2.2) можна оцінити на основі методу 1 МНК. Але при цьому необхідно дотримуватися таких передумов (гіпотез):
-
математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто
M(e)=0; (2.4)
-
значення вектора залишків незалежні між собою і мають постійну дисперсію:
M(e)=E (2.5)
де – транспонований вектор залишків, E – одинична матриця;
-
Незалежні змінні моделі не зв’язані з залишками, тобто
M(e)=0; (2.6)
де – транспонована матриця незалежних змінних.
Незалежні змінні створюють лінійно-незалежну систему векторів:
(2.7)
Оператор оцінювання параметрів багаточинникової економетричної моделі на основі 1 МНК дорівнює:
(2.8)
Можна довести, що оцінки B, які можна отримати на основі оператора оцінювання (2.8), мінімізують суму квадратів залишків (). При цьому значення вектора є розв’язком системи нормальних рівнянь:
(2.9)
де – матриця моментів. Числа, що стоять на головній діагоналі матриці, характеризують величину дисперсій незалежних змінних чинників, а інші елементи відповідають взаємним коваріаціям.
Оцінка параметрів багаточинникової економетричної моделі повинна бути незміщеною і виконуватися рівність:
(2.10)
У випадку якщо рівність (2.10) не виконується, знаходять різницю – зміщення оцінки.
Оцінка параметрів моделі повинна бути обґрунтованою, тобто при заданій малій величині справедливе співвідношення:
(2.11)
Елементами оператора оцінювання
(2.12)
є оцінки невідомих параметрів моделі:
x1+x2+…+xi+…xn (2.13)
Вектор залишків знаходять як різницю векторів:
e, (2.14)
елементи якого визначають за виразом:
(2.15)
Дисперсії залишків і залежної змінної можна в матричній формі розрахувати за виразами:
(2.16)
Матрицю коваріацій оцінок параметрів моделі в матричній формі визначають за виразом:
(2.17)
Діагональні елементи цієї матриці характеризують дисперсії оцінок параметрів моделі:
Всі інші елементи матриці (2.18) визначають рівень коваріації між оцінками параметрів моделі.
Стандартні помилки оцінок параметрів знаходять за виразами:
; , … (2.18)
а їхні відносні відхилення – за виразами:
; … (2.19)
Завдання
Дані, що характеризують урожайність зернових, для шістнадцяти районів області наведені у наступній таблиці 2.1
Таблиця 2.1
№ п/п |
Урожайність ц/га |
Число тракторів на 104 га угідь |
Число зернозбиральних комбайнів на 104 га угідь |
Число знарядь обробки ґрунту на 104 га угідь |
Кількість добрив на 100 га угідь |
1 |
19,4+ |
159+ |
26+ |
205+ |
32+ |
2 |
16,8+ |
34+ |
28+ |
46+ |
59+ |
3 |
18,0+ |
253+ |
31+ |
246+ |
30+ |
4 |
19,8+ |
263+ |
40+ |
344+ |
43+ |
5 |
19,2+ |
216+ |
26+ |
216+ |
39+ |
6 |
17,2+ |
216+ |
30+ |
269+ |
32+ |
7 |
25,0+ |
168+ |
29+ |
73+ |
42+ |
8 |
15,2+ |
35+ |
26+ |
42+ |
21+ |
9 |
13,8+ |
52+ |
24+ |
49+ |
20+ |
10 |
27,0+ |
342+ |
31+ |
302+ |
137+ |
11 |
19,4+ |
178+ |
30+ |
319+ |
73+ |
12 |
21,4+ |
240+ |
32+ |
330+ |
25+ |
13 |
24,2+ |
336+ |
40+ |
451+ |
59+ |
14 |
19,4+ |
172+ |
28+ |
226+ |
82+ |
15 |
14,0+ |
59+ |
29+ |
60+ |
13+ |
16 |
14,4+ |
28+ |
26+ |
30+ |
9+ |
Дослідити залежність між урожайністю зернових та іншими чинниками, що наведені у таблиці 2.1, і провести аналіз побудованої багатофакторної економетричної моделі. Залежність між результуючою ознакою та чинниками вважати лінійною. При проведенні розрахунків використати систему Mathcad. Сформувати базу даних згідно свого варіанту:в таблиці 2.1 за N прийняти дві останні цифрі номера своєї залікової книжки.