Тема 2. Виды относительных величин и формулы для их расчета:

1. Процент планового задания характеризует планируемое изменение показателя по сравнению с фактически достигнутым в период, предшествующий плановому:

% пл. зад.,

где- плановый уровень;

- базовый уровень или уровень периода, предшествующего плановому.

2. Процент выполнения плана характеризует степень выполнения плана (прогноза):

% в.п.,

где - фактический уровень, достигнутый в анализируемом периоде.

3. Коэффициент динамики (роста) характеризует изменение явления во времени:

а) базисный ; б) цепной,

где = - фактический уровень, достигнутый в анализируемом периоде;

- уровень, предшествующий текущему (анализируемому) периоду.

4. Удельный вес - относительная величина структуры совокупности (это часть от целого):

,

где - объем части изучаемой совокупности;

- общий объем совокупности.

5. Коэффициент координации характеризует соотношение между отдельными частями изучаемой совокупности, одна из которых принимается за базу сравнения:

,

где - часть сравниваемой совокупности;

- часть совокупности, принятой за базу сравнения.

6. Относительная величина сравнения характеризует соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам или территориям, но за один и тот же период:

,

где - объем сравниваемой совокупности;

- объем совокупности, принятый за базу сравнения.

7. Относительная величина интенсивности характеризует распространенность данного явления в определенной среде. В основном это соотношение двух разноименных абсолютных величин. Применяется для характеристики уровня развития явления (сколько единиц числителя приходится на 1, 100, 1000 и т.д. единиц знаменателя). К показателям интенсивности относят коэффициент рождаемости, смертности, самоубийств, преступности.

Тема 3. Средние величины

Средняя величина - это обобщающая характеристика изучаемой статистической совокупности по какому-либо признаку. Наиболее распространенными средними величинами являются: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя хронологическая, средняя геометрическая (см. тему 5: "Ряды динамики", расчет среднего темпа роста).

Выбор формулы расчета средней величины зависит только от вида исходных данных. Средняя арифметическая применяется, если известны значения осредняемого признака Х и число единиц совокупности с этим значением X. Если каждая варианта - Х встречается 1 раз, то применяется средняя арифметическая простая:

где - число единиц совокупности.

Средняя арифметическая простая, как правило, применяется, если исходные данные не упорядочены. Если каждая варианта - Х встречается несколько раз, то применяется средняя арифметическая взвешенная:

где - частота признака.

Средняя арифметическая взвешенная применяется, если задан упорядоченный ряд распределения.

Пример 1: Построить дискретный ряд распределения студентов по возрасту и вычислить среднюю арифметическую взвешенную. Дать характеристику группировке.

Возраст	Кол-во чел.	Возраст	Кол-во чел.	Возраст	Кол-во чел.
22	5	29	3	37	2
23	3	30	6	38	2
24	4	31	3	39	1
25	1	32	3	40	1
26	4	33	1	46	1
27	2	34	4	50	1
28	1	36	2

Решение: лет.

Характеристика группировки: вариационная, дискретная, однофакторная, первичная, структурная.

Построить интервальный ряд распределения и произвести расчет средней по интервальному ряду.

Алгоритм расчета: 1) Закрыть открытые интервалы, приняв их равными ближайшему закрытому. 2) За значение Х взять середину каждого интервала (значение первого + значение последнего и поделить на 2); 3) Провести расчет средней арифметической взвешенной.

Возраст	Середина интервала
До 25 лет	23	13	299
26 - 30 лет	28	16	448
31 - 35 лет	33	11	363
36 и более	38	10	380

Решение: лет.

В статистике приходится вычислять средние по вариантам, которые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которых весами являются объемы единиц в группах.

Пример 2: Задолженность по кредитам предприятий за отчетный период характеризуется следующими данными:

№ предприятия	Задолженность по кредитам, тыс.руб.,	Удельный вес просроченной задолженности, %,	Объем просроченной задолженности, тыс.руб.,
1	2500	20	500
2	3000	30	900
3	1000	16	160
ИТОГО	6500	-	1560

Определите средний процент просроченной задолженности по кредитам предприятий.

Решение: Экономическое содержание показателя равно:

Удельный вес задолженности =	Объем просроченной задолженности	100, %
	Объем общей задолженности

Для расчета среднего процента просроченной задолженности надо сравнить суммарные показатели просроченной задолженности и общей задолженности предприятий. Применяем формулу средней арифметической взвешенной:

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется, когда неизвестна частота (), но известны произведения варианты (X) на частоту (), то есть . Средняя гармоническая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая:

где - число единиц совокупности.

Средняя гармоническая взвешенная:

где .

Пример 1: Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

№ банка	Средняя процентная ставка X	Доход банка, тыс.руб. Д=	Сумма кредита, тыс.руб. Д / X
1	40	600	1500
2	35	350	1000
ИТОГО	-	950	2500

Определите среднюю процентную ставку банков.

Решение: Основой выбора средней является реальное содержание определяемого показателя:

Ставка =	Доход банка	 100, %
	Сумма кредита

В задаче отсутствуют прямые данные о кредитах, но их суммы можно определить расчетным путем, разделив доход банка (Д) на процентную ставку () (см. последнюю графу).

Среднюю процентную ставку определяем по формуле средней гармонической взвешенной. Веса представляют собой произведения процентной ставки () на сумму кредита (): Д=.

Средняя хронологическая

Средняя хронологическая применяется когда значения признака Х заданы на несколько дат внутри периода. Формула средней хронологической:

,

где, - число дат, на которые известны значения Х.

Пример 1: Остатки денежных средств на расчетном счете предприятия (в т.руб.) характеризуются следующими данными:

Дата	01.01	01.02	01.03	01.04	01.05	01.06	01.07
Остаток	175	190	215	255	320	370	460

Определить: среднедневное наличие денег на расчетном счете за 1-ый квартал, 2-ой квартал и за 1-е полугодие.

За первый квартал: т. руб.

За второй квартал: т. руб.

За полугодие:

т. руб.

Выводы:

1) в первом квартале ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 206,7тыс. руб.

2) во втором квартале ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 349,2тыс. руб.

3) в первом полугодии ежедневно находилось денег на расчетном счете в сумме 277,9тыс. руб.

Для изучения внутреннего строения совокупности применяют структурные средние - моду и медиану. По имеющимся данным интервального вариационного ряда нужно исчислить моду, медиану, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Мода ( ) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В дискретном ряду мода определяется по наибольшей частоте. Для интервального ряда с равными интервалами мода определяется по формуле:

,

где - нижнее значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

- ширина (шаг) интервала;

- частота модального интервала;

и - соответственно: частота интервала, предшедствующего (последующего) модальному.

Медиана ( ) - середина ранжированного ряда, т.е. величина признака, делящая ряд на две равные части. Для дискретного с нечетным числом уровней медианой будет варианта, находящаяся в середине ряда:

,

где – номер медианы.

Для дискретного ряда с четным числом медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда:

.

Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:

,

где - нижняя граница медианного интервала;

- его величина; - его частота;

-сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

- сумма частот ряда.

Не каждая средняя величина является объективной характеристикой изучаемой совокупности. Для расчета типичности средней, колеблемости признака применяются показатели вариации.