9

Министерство сельского хозяйства российской федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра физики

Ен.Ф.03 физика ен.Ф.03 физика и биофизика

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника и моментов

инерции маятника

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Уфа 2006

Лабораторная работа № 6

Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника и моментов

инерции маятника

Цель и задачи работы: Изучить гармонические колебания; экспериментально определить с помощью физического маятника ускорение свободного падения и моменты инерции маятника.

1 Общие сведения

Под физическим маятником понимают твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести около горизонтальной оси, не проходящей через центр масс маятника (рисунок 1а). Если колеблющееся тело можно представить как материальную точку, висящей на невесомой нерастяжимой нити, то маятник называется математическим (рисунок 1б).

а б

Рисунок 1 Маятники: а – физический; б – математический.

С – центр масс маятника; O – точкой подвеса; O₁ – центр

качаний;  – угол отклонения маятника от вертикали

Если амплитуда угловых колебаний ₀ мала (в пределах 45), то период колебаний физического маятника выражается формулой

, (1)

где J – момент инерции маятника относительно оси колебания, кгм²;

m – масса маятника, кг;

l=OC – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника, м;

– приведенная длина физического маятника, м.

Физический маятник обладает следующим свойством: для любой точки подвеса O (период колебаний T) найдется такая точка O₁ (период T₁), что T = T₁. Одна из точек, например, O называется точкой подвеса, другая точка O₁ – центр качаний.

Условие T = T₁, свидетельствует о том, что точка подвеса O и центр качаний O₁ обратимы, поэтому эти точки O и O₁ называются сопряженными. Физический маятник, имеющий сопряженные точки O и O₁, называется оборотным.

Приведенная длина оборотного маятника L_пр для данной пары сопряженных точек O; O₁ равна расстоянию между ними OO₁ (рисунок 1а).

2 Описание установки и вывод расчетной формулы

В комплект лабораторной установки входят маятник (рисунок 2), секундомер, мерная линейка.

Чечевицу 2 можно передвигать по стержню и фиксировать с помощью винта. Для определения ее положения на конце стержня нанесены миллиметровые деления 1. Опорные призмы 3 и 7 закреплены на стержне 5 жестко.

На рисунке 2 приведено одно из положений маятника. При этом маятник будет колебаться относительно призмы 3. Можно перевернуть маятник и установить призму 7 в канавку 4. Если передвигать чечевицу 2 по стержню, то изменится положение точки C – центра масс маятника, а, следовательно, и период колебаний.

Исходя из (1) период колебаний маятника на ребре призмы (оси) А выразится:

, (2)

а период колебаний на ребре призмы (оси) B:

, (3)

где J_А – момент инерции маятника относительно оси A ;

J_B – момент инерции маятника относительно оси B.

Рисунок 2 Схема подвешенного оборотного маятника:

1 – миллиметровая шкала; 2 – подвижная чечевица;

3, 7 – опорные призмы; 4 – опорная канавка; 5 – стержень;

6 – неподвижная чечевица

На рисунке приняты обозначения: С – центр масс маятника; l₁ – расстояние между ребром А и точкой С; l₂ – расстояние между ребром В и точкой С

Преобразуем (2) и (3), используя теорему Штейнера, которая для колебаний на ребре призмы A записывается как

J_A = J_C + m_C l₁², (4)

и гласит: момент инерции маятника относительно ребра призмы А равен сумме момента инерции маятника относительно центра масс C (J_C) и произведения массы на квадрат расстояния от оси вращения до центра масс C (m_C l₁² ).

Теорема Штейнера для колебаний маятника относительно ребра призмы B записывается в виде

J_B = J_C + m_C l₂² , (5)

где l₂ - расстояние между ребром B и центром масс C; J_C - момент инерции оборотного маятника относительно центра масс C.

Определение величины J тела сложной формы, такого как оборотный маятник, является трудной задачей. Поэтому преобразуем зависимости моментов инерции так, чтобы исключить величину J_C .

Перепишем формулы (2) и (3) с учетом выражений (4) и (5)

, (6)

_. (7)

Для решения нашей задачи найдем такое положение чечевицы 2, что будет выполняться условие

T_А = T_В = T₀ . (8)

Подставим (6) и (7) в условие (8):.

Отсюда получаем

J_C = ml₁ l₂ . (9)

Выражение (9) подставим, например, в формулу (6) (или в (7))

_.

Учтем, что m_C = m, тогда получаем

.

Отсюда ускорение свободного падения тел ,

где, как видно из рисунка 2, l₁ + l₂ = L_пр (L_пр - приведенная длина оборотного маятника).

Таким образом, для вычисления ускорения свободного падения тел окончательно получаем

_. (10)

Из (10) видно, что требуется найти экспериментально такие периоды колебаний маятника, чтобы выполнялось условие (8). Заметим, что добиться точного совпадения значений T_А и T_В практически невозможно. Приходится подбирать такое положение чечевицы 2, чтобы на призмах 3 и 7 оборотный маятник совершал колебания с приблизительно одинаковыми периодами T_А  T_В .