18

Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка”

Кафедра теоретичної радіотехніки і радіовимірювань

АНАЛІЗ СПЕКТРІВ СИГНАЛІВ

Методичні вказівки до лабораторної роботи №1

з предметів“Сигнали та процеси в радіоелектроніці”,

“Теорія передачі сигналів”

для студентів базового напряму “Радіотехніка”

ЗАТВЕРДЖЕНО

на засіданні кафедри

“Теоретична радіотехніка

та радіовимірювання”

Протокол № 6 від 26 березня 2010 р.

ЛЬВІВ 2010

Аналіз спектрів сигналів. Методичні вказівки до лабораторної роботи № 1 з предметів “Сигнали та процеси в радіоелектроніці”, “Теорія передачі сигналів” для студентів базового напряму “Радіотехніка”/ Укладачі: Желяк Р.І., Мелень М.В. -Львів:НУ ЛП, 2010. - 16 с.

Укладачі: Желяк Р.І., проф., канд. техн. наук;

Мелень М.В., доц., канд. техн. наук.

Рецензенти: Волочій Б.Ю., проф., докт. техн. наук;

Бондарєв А.П., проф., докт. техн. наук.

Відповідальний за випуск: Надобко О.В., доц., канд.техн.наук.

© Желяк Р.І., Мелень М.В., 2010

1. Мета роботи

Метою роботи є ознайомлення з методиками розрахунку та експеримен-тального визначення спектрів періодичних сигналів в гармонічному координатному базисі.

2. Основні положення

З метою визначення та порівняння характеристик (властивостей) різних сигналів, спрощення аналізу спотворення цих сигналів при їх поширенні через радіоелектронні кола доцільно представляти довільний сигнал у вигляді суми елементарних сигналів, для яких розв’язок перелічених задач є більш простим. Серед таких елементарних сигналів в радіотехніці найчастіше використовують гармонічні коливання або імпульси прямокутної форми з кратними частотами, генерування яких не складає труднощів.

2.1. Спектральне представлення періодичних сигналів

Складні сигнали, які представляють собою змінні в часі електричні величини (струм, напруга, заряд тощо), можна задавати у вигляді деякої функції часу s(t). Задаючи цю функцію, тим самим повністю визначаємо сигнал. Проте часто властивості сигналу можна описати більш економічним способом, вибравши для цього такі характеристики, які б простіше і в той же час досить повно харак-теризували сигнал з точки зору умов його передачі через радіоелектронне коло. Якщо складний періодичний сигнал s(t) задовольняє умови Діріхле (протягом періоду повторення Т має скінченну кількість розривів першого роду і скінченну кількість максимумів та мінімумів) і умову абсолютної інтегрованості , то він може бути описаний узагальненим рядом Фур'є в базисі ортогональних функцій:

(1)

де k - номер базисної функції;

_k(t) - к-та базисна функція, для якої виконується умова ортогональності:

; (2)

Тут - енергія елементарного сигналу , яку в математиці називають

квадратом норми сигналу . Зауважимо, що при виконанні рівності =1 функцію називають ортонормованою;

- к-тий коефіцієнт розкладу заданого сигналу у ряд Фур'є, який визна-чається з виразу:

. (3)

Доцільно відзначити, що визначення коефіцієнтів розкладу заданого сигналу s(t) у ряд Фур'є за допомогою виразу (3) та використання ортогональних базисних функцій забезпечує однозначне представлення цього сигналу рядом (1) з мінімальною середньоквадратичною похибкою.

При використанні ортогонального базису гармонічних функцій з кратними частотами ряд (1) називають рядом Фур'є у тригонометричній формі:

(4)

або

, (5)

де - основна частота (частота першої гармоніки); А₀ - постійна cкладова

(середнє значення сигналу за період);

та - амплітуди косинусоїдних та синусоїдних складових розкладу к-го по-

рядкового номера;

- амплітуда та початкова фаза к-ої гармонічної складової.

Ці величини визначаються виразами:

(6)

Амплітуда та початкова фаза к-ої гармонічної складової визначаються через та :

; (7)

Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують більш компактну комплексну форму:

, (8)

до якої можна перейти від (4,5), використавши відому формулу Ейлера: .

Величину прийнято називати комплексною амплітудою к-тої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармо-ніки. Комплексні амплітуди можна визначити на основі функції за форму-лою:

(9)

У виразі (8) додавання ведеться як по додатних, так і по від’ємних значеннях k. Це означає, що в комплексний ряд Фур'є входять гармоніки з додатними і з від'ємними частотами. Від'ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з'являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.

На підставі (8) знаходимо взаємозв'язок між величинами ,і та :

(10)

Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовільняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

Із виразів (5, 6) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень (k = = 1, 2, 3...), кратних основній частоті . Ці складові називають гармоніками періо-дичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчаcтим. Гармоніку, яка відповідає номерові k=1, називають першою або основною гармонікою. При k = 2 маємо другу гармоніку, при k = 3 - третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік рівні , їх початкові фази . Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою рівною . У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази.

Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне пред-ставлення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові на осі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а на осі ординат - відповідно величини амплітуд гармонік та їх початкові фази .

Для прикладу на рис. 1 зображений спектр періодичної послідовності прямо-rутних імпульсів з амплітудою А та тривалістю , які повторюються з часто-тою, причому .

Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках задля спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної спектральної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 90 % енергії сигналу.

Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про "ширину спектра" тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.

І з спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусідніми гармоніками по

осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) рівна значенню частоти ₀ =

= 2/Т основної гармоніки періодичного сигналу. Це означає, що із збільшенням частоти повторення сигналу віддаль між лініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміна частоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, що випливає з виразів (6 - 10).