- •Г лава I. Линейная алгебра
- •Матрицы и действия над ними
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.2. Определитель матриц
- •Основные свойства определителей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Обратная матрица
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.4. Ранг матрицы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1.5. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава II. Векторная алгебра
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов
ЧАСТНЫЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА
М. И. ОВСЕЕЦ
Е. М. СВЕТЛАЯ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Линейная алгебра
Аналитическая геометрия
М
УДК 51
ББК 22,11я73
О 34
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом
Частного института управления и предпринимательства
Авторы:
М. И. Овсеец, кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры высшей математики и статистики
Частного института управления и предпринимательства;
Е. М. Светлая, преподаватель кафедры высшей математики и статистики
Частного института управления и предпринимательства
Рецензенты:
А. К. Вершина, профессор кафедры
материаловедения и технологии металлов Белорусского государственного технологического университета, доктор технических наук;
А. А. Егоров, доцент кафедры высшей математики
и математической физики Белорусского государственного университета, кандидат физико-математических наук
Рассмотрено и одобрено
на заседании кафедры высшей математики и статистики,
протокол № 6 от 23 января 2006 г.
Овсеец, М. И.
О 34 Сборник задач по высшей математике. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия: учеб.-метод. пособие / М. И. Овсеец, Е. М. Светлая.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2006.– 68 с.
Сборник задач содержит краткий теоретический материал, примеры и задачи по разделу «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия».
Предназначен для студентов экономических специальностей, изучающих высшую математику Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51
ББК 22.11я73
Г лава I. Линейная алгебра
-
Матрицы и действия над ними
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов , называется квадратной матрицей порядка п. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Ее обозначают буквой О.
Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной и обозначается буквой Е.
Для матриц одинакового размера вводятся операции сложения и вычитания.
Для того чтобы сложить две матрицы и , достаточно сложить их соответствующие элементы. Операция обозначается .
Для того чтобы из матрицы вычесть матрицу , достаточно из каждого элемента матрицы А вычесть соответствующие элементы матрицы В. Операция обозначается .
Для того чтобы матрицу умножить на число , достаточно все элементы матрицы умножить на число . Операция обозначается или .
Произведение матрицы на матрицу вводится только для согласованных матриц, т. е. число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы (число п). Операция обозначается .
Произведением матриц и называется такая матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы на соответствующие элементы j-го столбца матрицы .
Произведение матриц не обладает свойством коммутативности, т. е. не всегда , даже если произведения имеют смысл.
Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей, транспонированной к данной. Ее обозначают .
Примеры
-
Найти линейную комбинацию матриц
где , .
Р е ш е н и е.
+.
-
Найти произведения , матриц:
.
Р е ш е н и е. Матрица А имеет размерность , матрица . Они являются согласованными. Матрица будет иметь размерность .
=
==.
Произведение не существует, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы
-
Транспонировать матрицу .
Р е ш е н и е. Так как у матрицы А две строки и три столбца, то у матрицы будет три строки и два столбца:
.
-
Решить матричное уравнение , если Х – неизвестная матрица.
Р е ш е н и е. Используя свойства линейных операций над матрицами, найдем Х в общем виде:
Тогда
=
-
В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2, и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М2 – 70, а в М3 – 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.
Молокозавод |
Магазин |
1 2 |
М1 М2 М3 |
20 35 10 15 27 8 |
Р е ш е н и е. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В – матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т. е.
.
Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
.
Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй – 3680 ден. ед.
-
Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется матрицей . Используются ткани четырех типов . В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Матрица задает стоимость метра ткани каждого типа, а матрица – стоимость перевозки метра ткани каждого вида.
Изделие |
Расход ткани |
|||
Т1 |
Т2 |
Т3 |
Т4 |
|
Зимнее пальто Демисезонное пальто Плащ |
5 3 0 |
1 2 0 |
0 0 4 |
3 2 3 |
-
Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана?
-
Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.
-
Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.
-
Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.
Р е ш е н и е. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.
.
Тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно матрицу Х умножить на матрицу А:
=.
Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицы А и СТ:
.
Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле
.
Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина
.
Итак,