- •Задачи для самостоятельного решения
- •2) Длину вектора .
- •2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Глава III. Основы аналитической геометрии
- •Уравнения прямой на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.5. Уравнения прямой в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3.8. Кривые второго порядка
- •Задачи для самостоятельного решения
Из пропорции найдем значение , которое не совпадает с предыдущим значением.
Следовательно, векторы и не будут коллинеарными ни при каких значениях .
2) Запишем условие перпендикулярности двух векторов: , или , 7.
Откуда .
Следовательно, при векторы и будут перпендикулярными.
6. Даны векторы , , . Найти проекцию вектора на вектор .
Р е ш е н и е. В нашем случае , , .
Тогда требуемая проекция находится по формуле (2.8)
7. Даны векторы , , , в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
Р е ш е н и е. Проверим условие, при выполнении которого векторы образуют базис. Для этого вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов . Имеем
Следовательно, векторы образуют базис.
Пусть вектор в базисе имеет координаты т. е. . Вектор является линейной комбинацией векторов :
. Полученное равенство запишем в координатной форме:
.
Преобразуем правую часть:
,
.
Из равенства векторов следует равенство их координат. Получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных :
Решая эту систему любым из известных способов, находим
.
Следовательно, .
Задачи для самостоятельного решения
-
Показать геометрически, что .
-
Найти в треугольнике АВС точку О, для которой .
-
Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD. Чему равняются векторы:
1) 2) ; 3) ?
4. Даны координаты точек , . Найти:
1) длину вектора ;
2) Длину вектора .
5. Вычислить скалярные произведения .
6. При каком значении параметра вектор перпендикулярен вектору ?
7. Найти угол между векторами и , если , .
8. Известно, что .
Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
9. Даны векторы , . Требуется:
1) определить перпендикулярность векторов и ;
2) вычислить координаты вектора ;
3) найти угол между векторами и ;
4) найти проекции , , ;
5) вычислить направляющие косинусы вектора .
10. Определить, при каких значениях параметров векторы и :
1) коллинеарны;
2) перпендикулярны.
11. На плоскости даны векторы , . Найти координаты вектора в базисе .
12. В пространстве даны векторы , в некотором базисе.
Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.
2.2. Векторное и смешанное произведения векторов
Пусть , , .
Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый или , удовлетворяющий условиям:
1) где – угол между векторами и ; (2.9)
2) , ;
3) упорядоченная тройка векторов – правая, т. е. если смотреть из конца вектора , то кратчайший поворот от вектора к вектору осуществляется против хода часовой стрелки (в противном случае тройка называется левой).
Если хотя бы один из векторов и нулевой, то полагают .
Векторное произведение в координатной форме:
+. (2.10)
Ненулевые векторы и коллинерны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равняется нулевому вектору; . (2.11)
Геометрический смысл векторного произведения: длина вектора векторного произведения векторов и численно равняется площади параллелограмма, построенного на векторах и , приведенных к общему началу.
Смешанным произведением трех векторов называется число, обозначаемое или и равное скалярному произведению вектора на вектор : .
Смешанное произведение векторов , , в координатной форме:
. (2.12)
Ненулевые векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равняется нулю .
Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведение трех векторов численно равняется объему параллелепипеда, построенного на векторах (приведенных к общему началу), взятому со знаком «+», если тройка – правая, и взятому со знаком «–», если тройка – левая.
Примеры
8. Вычислить , если известно, что , , .
Р е ш е н и е. Согласно свойствам векторного произведения, получаем:
=.
Следовательно, .
По формуле (2.9) находим модуль векторного произведения:
Тогда .
9. Даны векторы . Найти их векторное произведение, синус угла между ними и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.
Р е ш е н и е. Применим формулу(2.10):
.
Находим площадь параллелограмма:
.
Найдем синус угла между данными векторами:
10. Вычислить смешанное произведение если .
Р е ш е н и е. Согласно свойствам смешанного произведения, получаем:
= Так как , то
11. Доказать, что векторы , компланарны.
Р е ш е н и е. Проверим условие компланарности . Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле (2.12):
.
С ледовательно, векторы – компланарны.
12. Даны вершины пирамиды . Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС (рис. 3).
Р е ш е н и е. Так как объем V пирамиды есть , то , где – длина высоты пирамиды, S – площадь основания.
Находим , .
=
Находим площадь основания:
.
Следовательно, .