- •Высшая математика
- •Непрерывность функции
- •Функции нескольких переменных
- •Учебно-методическое пособие
- •Лекция 1. Непрерывность функции
- •Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Непрерывность функции
- •Лекция 2. Функции нескольких переменных
- •Понятие функции двух и более переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные первого порядка. Полный дифференциал
- •Частные производные высших порядков
- •Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума
- •Условный экстремум
- •Функции нескольких переменных
- •Литература
- •Ответы к задачам и упражнениям Непрерывность функции
- •Функции нескольких переменных
- •Содержание
- •1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке 3
- •220086, Г. Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Частный институт управления и предпринимательства
В. М. Метельский
Высшая математика
Непрерывность функции
Функции нескольких переменных
Учебно-методическое пособие
Минск 2005
УДК 51
ББК 22.11я73
М 54
Автор
В. М. Метельский, доцент кафедры высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства, кандидат физико-математических наук
Рецензенты:
Н. С. Коваленко, профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета, доктор физико-математических наук, профессор;
Т. И. Чепелева, доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технологического университета, кандидат физико-математических наук, доцент
Рассмотрено, одобрено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 4 от 11 ноября 2005 г.
Метельский, В. М.
М 54 Высшая математика. Непрерывность функции. Функции нескольких переменных: Учеб. пособие / В. М. Метельский. – Мн.: Частн. ин-т упр. и предпр., 2005. – 24 с.
Учебное пособие по курсу «Высшая математика» подготовлено в соответствии с рабочей программой ЧИУиП по данной дисциплине, стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции по темам «Непрерывность функции» и «Функции нескольких переменных».
Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51
ББК 22.11я73
© Метельский В. М., 2005
© Частный институт управления и предпринимательства, 2005
Лекция 1. Непрерывность функции
План
-
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке.
-
Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерыв-ных на отрезке.
-
Точки разрыва функции и их классификация.
Ключевые понятия
Предел функции в точке.
Односторонние пределы.
Непрерывность функции в точке.
Приращение аргумента.
Приращение функции.
Непрерывность функции на отрезке.
Точки разрыва функции.
Точки разрыва первого рода.
Точки устранимого разрыва.
Точки разрыва второго рода.
-
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечный предел функции в точке ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т. е.
. (1)
Так как , то равенство (1) можно записать в виде
. (2)
Это означает, что для непрерывной функции знаки предела и функции можно переставлять.
На практике часто используется следующее определение непрерывности функции в точке, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) существует конечные односторонние пределы и ; 3) эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке , т. е.
. (3)
Сформулируем еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.
Пусть функция определена в точке и ее окрестности. Дадим аргументу приращение . Тогда функция получит приращение (рис. 1).
Рис. 1
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
(4)
Пример 1. Доказать, что функция непрерывна в любой точке области определения, т. е. в любой точке .
Решение. Дадим аргументу приращение в точке и найдем приращение функции :
.
Следовательно,
.
Таким образом, , а это и означает, что функция непрерывна в точке .
Пример 2. Исследовать на непрерывность в точке следующие функции: а) ; б) в) .
Решение. а) Функция определена в окрестности точки , но в самой точке она не определена, следовательно, в этой точке она не является непрерывной (не выполнено первое условие непрерывности).
б) Для исследования на непрерывность воспользуемся определением 2. В точке функция определена ( ), т. е. первое условие непрерывности выполнено; второе условие также выполняется: ; ; третье условие непрерывности не выполняется, так как . Следовательно, данная функция также не является непрерывной в точке .
в) Функция является непрерывной в точке , так как выполнены все три условия непрерывности: она определена в точке и ее окрестности; существуют односторонние пределы , ; эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке : .
Свойства функций, непрерывных в точке:
-
Если функции и непрерывны в точке , то функции , (с – постоянная), и (при условии что ) также непрерывны в точке .
-
Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
-
Непрерывность функции на отрезке.
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Определение 4. Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a непрерывна справа, т.е. , а в точке b непрерывна слева, т. е. ).
Все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
-
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса).
-
Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она достигает своего наименьшего значения и наибольшего значения (вторая теорема Вейерштрасса) (см. рис. 2).
-
Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая, что (теорема Больцано-Коши) (см. рис. 3).