Частный институт управления и предпринимательства

В. М. Метельский

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Определенный интеграл Минск 2007

Частный институт управления и предпринимательства

В. М. Метельский

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Определенный интеграл

Учебно-методическое пособие

Минск 2007

УДК 51(075.8):33

ББК 22.1я73

М 54

Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства

А в т о р

доцент кафедры высшей математики и статистики

Частного института управления и предпринимательства

кандидат физико-математических наук В. М. Метельский

Р е ц е н з е н т ы:

профессор кафедры высшей математики Белорусского государственного экономического университета доктор физико-математических наук, профессор Н. С. Коваленко;

доцент кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета кандидат физико-математических наук, доцент Т. И. Чепелева

Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики,

протокол № 10 от 11.05.2007 г.

Метельский, В. М.

М 54 Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. Посо-бие / в. М. Метельский. – Минск: Частн. Ин-т упр. И предпр., 2007. – 29 с.

Пособие подготовлено в соответствии с учебной программой ЧИУиП по дисциплине «Высшая математика», стандартом и типовой программой Министерства образования Республики Беларусь. Оно включает лекции, задачи, упражнения и индивидуальные задания по теме «Определенный интеграл».

Для студентов дневной и заочной форм обучения Частного института управления и предпринимательства.

УДК 51(075.8):33

ББК 22.1я73



 Метельский В. М., 2007

 Частный институт управления и предпринимательства, 2007

Лекция 1. оПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ

План

1. Понятие определенного интеграла.

2. Геометрический смысл определенного интеграла.

3. Основные свойства определенного интеграла.

4. Формула Ньютона–Лейбница.

5. Замена переменной в определенном интеграле.

6. Интегрирование по частям.

Ключевые понятия

Интегральная сумма. Определенный интеграл. Пределы интегрирования. Интегрируемая функция. Криволинейная трапеция. Формула Ньютона–Лейбница. Теорема о среднем.

1. Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1. разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ;

2. в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ;

3. найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ;

4. составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке [а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5. найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтег-ральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.