- •1.1. Рівняння Шрединґера
- •1.7. Основні постулати квантової механіки.
- •1.8. Принцип невизначеності.
- •Лекція 2 Квантовий гармонічний осцилятор
- •2.1.Гармонічний осцилятор.
- •2.3.Хвильові функції.
- •2.3.Оператори породження і знищення.
- •Лекція 3 Загальна теорія резонаторів
- •Розклад електромагнітного поля по модах резонатора.
- •3.2.Квантування поля.
- •3.3.Квантування плоских хвиль.
- •3.4.Густина станів і випромінювання абсолютно чорного тіла
РОЗДІЛ І
КВАНТОВО-МЕХАНІЧНІ ОСНОВИ ЛАЗЕРНОЇ ТЕХНІКИ
Лекція 1
Рівняння Шрединґера
1.1. Рівняння Шрединґера
В квантовій механіці поведінка мікрочастинки описується хвильовою функцією , яка є розв’язком рівняння Шрединґера
, (1.1)
де – потенційна енергія, , – постійна Планка.
Імпульсу частинки в квантовій механіці відповідає диференціальний оператор ,тобто
(1.2)
то оператор в лівій частині (1.1) можна розглядати як квантовий аналог суми кінетичної і потенційної енергії частинки.
. (1.3)
Вимірявши в момент часу координати всіх частинок і підрахувавши відносне число частинок, що знаходяться в околі точки , отримаємо апріорну ймовірність виявлення частинки при вимірюванні всередині елементарного об’єму в момент часу В квантовій механіці густина ймовірності рівна:
. (1.4)
Перша умова, що випливає з статистичної інтерпретації полягає в тому, що повна ймовірність знаходження частинки де-небудь в просторі повинна бути скінченою і постійною:
(1.5)
імовірнісне трактування функції вимагає, щоб
(1.6)
1.2.Середні значення.
Середні значення радіус-вектора, що визначає положення частинки рівне:
(1.7)
Середнє значення оператора , що залежить від координат, імпульсу, енергії і часу:
. (1.8)
Це значення рівне середньому значенню фізичної величини. Всі оператори фізичних величин — ермітові оператори.
1.3.Ермітові оператори.
Оператор називається ермітово-спряженим оператору , якщо
(1.9)
де — дві любі скалярні функції.
Якщо , тобто то оператор називається ермітовим або самоспряженим.
1.4.Швидкість зміни середніх значень в часі.
.
Визначаючи оператор Намільтона як
, (1.11)
отримаємо згідно з (1.1): .
Виражаючи звідси похідні і , маємо:
. (1.12)
де використано як наслідок з ермітовості співвідношення:
— дужки Пуасона. (1.13)
1.5.Теорема Еренфеста.
Ця теорема стверджує, що класичні рівняння однієї частинки
(1.14)
справедливі, якщо всі вектори в (1.14) замінити на середні значення відповідних квантово-механічних операторів:
. (1.15)
1.6. Рівняння Шредінгера, що не містить часу.
Нехай розв’язок
(1.16)
представимо у вигляді Тоді рівняння (1.16) матиме вигляд:
. (1.17)
Якщо потенціальна енергія не залежить від часу явно, то рівняння (1.17) можна розділити на два рівняння з допомогою постійної розділення :
, (1.19)
Розв’язок другого рівняння (1.19) має вигляд:
Перше рівняння (1.18) називають рівнянням Шрединґера, що не містить час. Його розв’язки називаються власними функціями оператора енергії. Власні значення оператора енергії утворюють множину (дискретну чи неперервну) допустимих значень і визначаються граничними умовами для або вимогами, що накладаються на в нескінченності . Допустимо, що система функцій є повна система.
Ортонормальність хвильових фукцій.
Любі дві функції з системи функцій , що відповідають різним значенням , ортогональні, тобто
коли Будемо виходити з рівняння Запишемо аналогічне рівняння для ; помножимо перше рівняння на , а друге на і віднімемо одне від другого. В результаті отримаємо:
Власні значення ермітового оператора дійсні, тому Проінтегруємо отримане рівняння по об’єму і скористаємося теоремою Гріна.
Оскільки вимагається виконання умови (1.5), інтеграл в лівій частині повинен обертатись в нуль, завдяки чому:
, коли . (1.20)
Нормування випливає з умови
і (1.21)
так що є частковим (пронормованим) розв’язком рівняння Шрединґера з часом.
Фізичний зміст .
Розглянемо випадок, коли хвильова функція представляє частковий розв’язок виду:
. (1.22)
Середнє значення оператора повної енергії , який був названий оператором Гамільтона або гамільтоніаном, рівне:
. (1.21)
Таким чином , є середнім значенням оператора повної енергії , коли потенціальна функція явно не залежить від часу.
Деякі математичні властивості хвильових функцій.
Так як функції утворюють повну ортонормовану систему, їх можна використати для розкладу в ряд довільної функції :
і