ИрГУПС Кафедра «Высшая математика»

5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления

5.4.5. Геометрические и физические приложения дифференциального исчисления Вариант №1

1. Составить уравнение касательной к параболе в точках пересечения с осью ОХ.

2. Тело движется по прямой ОХ по закону . Определить скорость и ускорение движения. В какие моменты тело меняет направление?

3. Имеется 200 метров железной решетки, которой надо огородить с трех сторон площадку, примыкающую четвертой стороной к длинной каменной стене. Каковы должны быть размеры площадки, чтобы она имела наибольшую площадь?

Вариант №2

1. Составить уравнение нормали к окружности в правой точке пересечения ее с осью ОХ.

2. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом, за t сек. поворачивается на угол , где а, в, с – положительные постоянные. Определить угловую скорость и ускорение вращения. Когда колесо остановится?

3. Кровельщику надо сделать открытый желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Как дно, так и бока желоба имеют ширину 10 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее возможное количество воды?

Вариант №3

1. Составить уравнение касательной к циклоиде , в точке, где .

2. Зависимость между количеством х вещества, получаемого в некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением . Определить скорость реакции.

3. Консервная коробка цилиндрической формы с дном и крышкой должна вмещать V см в кубе. Каковы должны быть размеры коробки, чтобы на ее изготовление пошло наименьшее количество материала?

Вариант №4

1. В какой точке параболы касательная перпендикулярна прямой .

2. Тело движется прямолинейно так, что . Определить ускорение движения в конце 5 секунды.

3. Бак без крышки с квадратным основанием должен вмещать V литров воды. Каковы должны быть размеры бака, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала?

Вариант №5

1. В какой точке эллипса касательная имеет угловой коэффициент, равный (-2)?

2. Точка совершает прямолинейное колебательное движение по закону . Определить скорость и ускорение движения точки при .

3. Из квадратного листа жести со стороной а надо изготовить открытый сверху ящик. Для этой цели по углам листа вырезают равные квадраты и образовавшиеся края загибают сверху. Какого размера следует сделать вырезы, чтобы полученный ящик имел наибольшую вместимость?

Вариант №6

1. На окружности найти точки, где касательная параллельна прямой .

2. Тело движется по параболе так, что ее абсцисса изменяется с течением времени t по закону . С какой скоростью изменяется ордината точки.

3. Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?