ТЫВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

Г.А. Троякова, О.П. Магеря

АЛГЕБРА – 1

Практические занятия для студентов первого

курса физико - математического факультета

Кызыл 2011 г.

УДК 513

Г.А. Троякова., О.П.Магеря. Алгебра – 1.Практические занятия для студентов первого курса физико-математического факультета. ТывГУ.- Кызыл, 2009. – 56 с.

Настоящее пособие написано в соответствие с программой для специальности «математика», квалификация: «учитель математики». Оно представляет собой систему практических занятий по темам: элементы теории множеств и логики, бинарные отношения, системы линейных уравнений, - изучаемым в первом семестре.

Печатается по решению кафедры алгебры и геометрии,

УМС физико-математического факультета ТывГУ.

Рецензенты:

Доцент кафедры алгебры и

математической логики

Красноярского госуниверситета

к.ф.-м.н.

доцент кафедры высшей математики

Красноярского политехнического

Университета, к.ф.-м.н..

С Тывинский

государственный

университет

З А Н Я Т И Е № 1.

Множества

1. Понятие множества

В математике, да и в других науках, каждое новое понятие определяется обычно через уже известные, более элементарные понятия. Последнее, в свою очередь, определяется через ещё более простые и т.д., до тех пор, пока не придут к исходным понятиям. Понятие множества - исходное, первичное. Оно не поддаётся точному определению, его можно лишь описать, пояснить на примерах.

Под множеством А будем понимать любое собрание определённых и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами или членами множества А.

Если элемент х принадлежит множеству А, то это обозначается так: х  А, - если же х не принадлежит множеству А, то знак  перечёркивают и пишут: х  А.

Множество задано, если по отношению к любому объекту можно сказать, является он элементом этого множества или нет.

В алгебре чаще всего приходится иметь дело с числовыми множествами. Для некоторых из них приняты стандартные обозначения:

N - множество натуральных чисел;

Z - множество целых чисел;

Q - множество рациональных чисел;

R - множество действительных чисел.

Например, запись -7  Z читают так: “число -7 является целым”, а запись -7  N - “число -7 не является натуральным”.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Примером пустого множества может служить множество коней уравнения: 2х + 5 = 2(х - 1).

Убедитесь в этом!

Обычно множество задаётся перечислением всех его элементов (если это возможно), например, М = {a, b, c}; выделением из более широкого указанием признака, характеристического свойства, по которому элементы данного множества отличаются от всех остальных, например, В = {x | x  N и x < 7}.

Задайте множество В перечислением!

Определение. Множество называется конечным, если количество его элементов может быть выражено определённым (конечным) числом и обозначается: n(А) . В противном случае множество называется бесконечным.

Например, множество К всех двузначных чисел конечно и n(K) = 90, а множество натуральных чисел N бесконечно.

Определение. Два множества А и В называют равными и пишут А = В , если А и В содержат одни и те же элементы.

Например, множества С = {2, 3, 4, 5, 6} и L = {x | x  N и х < 7} равны. Множества {1, 2, 3} и {3, 1, 2, 1} тоже равны, т.к. каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству и наоборот; оба множества состоят из трёх элементов и, обычно, используют запись {1, 2, 3}.

1.2. Отношения между множествами

Определение. Множество В называется подмножеством множества А (обозначение: В  А), если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества (  А). Любое множество является подмножеством самого себя (А А). Например, множество В = {a, b, c} есть подмножество множества А = {a, b, c, d, e}. Как правило, подмножество задаётся указанием характеристического свойства. Таким способом получаем множества решений уравнений и неравенств.

Для наглядности множество изображается кругом (или другой связной фигурой) - круг Эйлера-Венна на плоскости мыслится как множество точек круга. Возможны следующие отношения между множествами А и В: а) множества А и В имеют общие элементы, но ни одно из них не является подмножеством другого (рис.1); б) множества А и В не имеют общих элементов (рис.2); в) одно из множеств, например В, является подмножеством другого (рис.3); г) множества равны (рис.4).

рис.1 рис.2 рис.3 рис.4

Определение. Пусть a, b  R и a < b. Интервалом от a до b называется подмножество множества R, состоящее из всех тех чисел х. для которых a < x < b. Обозначение: (a ; b).

Изображение:

^{a b x}

Аналогично даются определения:

а) отрезка от a до b (обозначение: [a ; b]); определяющее неравенство: a  x  b; изображение:

^{a b x}

б) открытый слева полуинтервал от a до b (обозначение: ( a ; b ] ); определяющее неравенство: a < x  b; изображение:

^{a b x}

в) открытый справа полуинтервал от a до b.

Указанные выше множества называют промежутками.

Дайте полные определения для пунктов а), б), в)!