Нечёткие предикаты и кванторы в матричном представлении нечёткой логики

К.В.Богданов (студент), М.А.Марценюк (профессор)

физический факультет

Пермского государственного университета [e-mail]

Логика нечётких предикатов развита в векторно-матричном представлении. Предикат мыслится как векторное поле нечётких переменных над заданным множеством термов. Вводятся операции над предикатами, предлагается вариант построения нечёткого вывода на основе правил, сформулированных в виде отношений между предикатами. Дано определение и указан метод вычисления нечетких кванторов и . Приводится пример нечёткого вывода на основе введенного аппарата.

1. Введение

В работах одного из авторов [1, 2] было развито матричное представление нечёткой логики, естественным образом обобщающее аппарат обычной «чёткой» логики. Отправной точкой было выбрано тензорное представление логики, предложенное в работах E.Mizraji [3, 4]. Логические переменные представлены 2D векторами , компоненты которых удовлетворяют условиям: . Отрицание вектора эквивалентно перестановке его компонент: . Пространство нечётких векторов обозначаем символом . Мерой нечёткости логического вектора служит энтропия

. (1)

Каждой логической операции между векторными переменными сопоставляется тензор 3-ранга , реализующий отображение (или ). При этом тензоры сохраняют тот вид, который они имели в векторном представлении «чёткой» логики. Это позволяет однозначно интерпретировать операции над нечёткими логическими переменными. Кроме того, между операциями сохраняются те же связи, которые имели место в «чёткой» логике, например, правила де Моргана. Однако алгебраические свойства некоторых операций над «существенно нечёткими» переменными, такие как идемпотентность, дистрибутивность, закон исключения третьего и закон противоречия, в нечёткой логике не выполняются. При этом они остаются справедливыми для случая, когда логические переменные принимают чёткие значения, совпадающие с векторами «базиса» или , имеющими смысл «ложь» и «истина» соответственно.

Большое удобство векторного представления состоит в том, что операции над логическими переменными могут быть представлены в матричном виде. Например, сопоставляя вектору конъюнктивную и дизъюнктивную матрицы:

, (2)

мы можем представить нечёткие конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию в виде

. (3)

Это позволяет выразить результат операций через компоненты исходных векторов («сомножителей»), а также использовать при решении логических задач матричную алгебру.

Отметим также, что любая формула, связывающая нечёткие переменные имеет реализацию в виде разветвленной электрической схемы, содержащей определенное число делителей тока (см. подробнее [2]), что естественным образом обобщает схемы с дискретными переключателями в реализациях «чёткой» логики.

Основное достоинство матричного представления нечёткой логики состоит в возможности сведения задач получения логических выводов к решению линейных алгебраических уравнений. В [2] это продемонстрировано на примерах нечёткого правила «модус поненс» и «метода резолюций».

Цель настоящей работы состоит в построении матричной модели нечётких предикатов. Как известно [5, 6], язык предикатов значительно расширяет возможности решения задач по сравнению с логикой высказываний, которая рассматривалась в [2]. Во втором разделе работы дается определение нечётких предикатов, основных операции над ними, предлагается вариант построения нечёткого вывода на основе правил, сформулированных в виде отношений между предикатами. В третьем разделе вводится понятие о нечётких кванторах и , даются формулы для их вычисления. В четвертом разделе рассматривается конкретный пример нечёткого вывода в логике предикатов. В заключении делаются некоторые общие выводы.