38

Міністерство транспорту та зв’язку України

Державний економіко-технологічний університет транспорту

Кафедра інформаційних систем і технологій на залізничному транспорті Рисцова а.Ю.

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ ТА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторних та самостійних і курсових робіт студентів спеціальності «Комп’ютерні інформаційно-керуючі системи на залізничному транспорті»

усіх форм навчання

Київ 2008

Методичні вказівки розглянуті та затверджені на засіданні кафедри (протокол № 1 від 30.08.2007р.), та на засіданні методичної ради університету (протокол № від р.).

Методичні вказівки містять опис лабораторних робіт, методику їх виконання, а також варіанти індивідуальних завдань.

Призначені для студентів спеціальності «комп’ютерні інформаційно-керуючи системи на залізничному транспорті», «автоматичні системи телекомунікації та зв’язку» усіх форм навчання і відповідають програмі курсу «Чисельні методи та математичне моделювання на ЕОМ».

Укладачі: А. Ю. Рисцова, канд. фіз.-мат. наук.

Рецензенти: Т.В.Крижановська, канд. фіз.-мат. наук;

А.В.Кузьмін, канд. фіз.-мат. наук.

ЗМІСТ

Передмова

Методичні вказівки розроблені на базі програми курсу “Чисельні методи та математичне моделювання на ЕОМ”.

Вони містять методичний матеріал та індивідуальні завдання для виконання лабораторних та самостійних і курсових робіт студентами як під керівництвом викладача під час аудиторних занять, так і самостійно на базі лекційного матеріалу.

До складу робіт увійшли основні теми з програми курсу. Підготовка до виконання роботи вимагає від студентів знань з курсів “Вища математика”, “Комп’ютерна техніка та програмування”, „Алгоритмізація та виконання обчислювальних робіт” в обсязі програм для ВТНЗ.

Теоретичний матеріал подається у скороченій формі. Для детальнішого розгляду теоретичних матеріалів слід використовувати навчальний посібник з списку літератури за №1.

Тема 1. Похибки чисельного рішення задачі Лабораторна робота № 1

1. МЕТА РОБОТИ

• Навчитися аналізувати похибки, що впливають на кінцевий результат рішення прикладної задачі.

• Навчитися оцінювати загальну похибку чисельного рішення задачі.

2. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ

• Вивчити та законспектувати теоретичний матеріал, що наведено у методичних вказівках цієї лабораторної

• Підрахувати та пояснити кількість значущих цифр у наближених значеннях прикладів.

• Підрахувати абсолютну похибку чисел у прикладах.

• Вказати, скільки вірних цифр містять наближення у прикладах.

Приклади

1. Нехай маємо точне значення x=0,0304503, а наближене значення x^*=0,03045.

2. Нехай маємо точне значення x=0,030450008, а наближене значення x^*=0,03045.

3. Нехай маємо точне значення x=0,03043, а наближене значення x^*=0,03045.

4. Нехай маємо точне значення x=0,03022, а наближене значення x^*=0,03045.

5. Нехай маємо точне значення x=0,03, а наближене значення x^*=0,03045.

3. КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

• Що таке значуща цифра?

• Що таке вірна цифра?

• Які бувають похибки при проведенні обчислювального експерименту?

4. ЗМІСТ ЗВІТУ

У звіті повинно міститься відповіді на контрольні питання та виконання прикладів з поясненням.

Приклади повинні бути виконані у зошиті та містити всі розрахунки та проміжні дані, що проводилися.

Не потребується використання для розрахунків ЕОМ та калькулятор.

5. ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

За часи існування ЕОМ найбільш поширеними формами запису чисел у машині були форма запису числа з фіксованою комою та форма запису числа з плаваючою комою.

Фіксована кома

Усі числа у ЕОМ мають модуль менший за одиницю, а кількість знаків після коми фіксовано. Тоді машина оперує з числами , де q-ціла основа системи числення, a₁, .,a_t цілі у межах від 0 до q.

Плаваюча кома

Машина оперує з числами де p порядок числа обмежений деякою величиною. На більшості машин ця величина дорівнює 64. Кількість розрядів у числі t може задаватися у деяких випадках користувачем.

Обмеження на представлення числа у ЕОМ може привести до перерви обчислень або до неприпустимого погіршення результату за рахунок обчислювальної похибки. Така ситуація можлива у „нестійких” алгоритмах.

Саме побудова „стійких” алгоритмів є задачею теорії чисельних методів.

Похибка при рішенні прикладної задачі обумовлена наступними причинами:

1. Математичний опис прикладної задачі є неточним, неточними є початкові дані

2. Чисельний метод, що застосовується для розв’язку математичної моделі потребує нескінченну кількість кроків у алгоритмі, тому замість точного рішення математичних рівнянь отримують наближені

3. Завдання даних у ЕОМ, виконання арифметичних операцій та виведення результату проводиться з округленням.

Похибки, що виникають з цих причин називаються:

1. похибка, що не ліквідується („спадщина”);

2. похибка методу;

3. обчислювальна похибка.

Нехай x точне значення параметру, що шукається у прикладній задачі. Тоді є значення того параметру для математичної моделі ( точне рішення математичних рівнянь), розв’язок математичних рівнянь за чисельним методом при припущенні, що немає округлення. І, нарешті, наближений розв’язок, що отримуємо при реальних обчисленнях на ЕОМ.

Тоді маємо оцінювати:

Якщо x точне значення параметру, що шукається, а x^* відоме наближення до нього, то величину коли

називають абсолютною похибкою, а величину коли

називають відносною похибкою.

Для функцій визначається гранична абсолютна та гранична відносна похибка за формулами:

Гранична похибка суми або різниці дорівнює сумі граничних похибок.

Гранична відносна похибка добутку або частки наближено дорівнює сумі граничних відносних похибок.

Значущими цифрами числа називають усі цифри в його запису, починаючи з першої ненульової.

Значущу цифру називають вірною , як що абсолютна похибка числа не перевищує одиниці розряду, що відповідає цій цифрі.