- •4. Дифференциальное исчисление
- •4.1Производная функции
- •4.2. Геометрический смысл производной
- •4.3 Механический смысл производной
- •4.4 Применение производной в экономических задачах.
- •4.5. Дифференциал функции
- •4.6. Основные правила дифференцирования
- •4.7. Правило дифференцирования сложной функции
- •4.8. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
- •4.9. Дифференцирование неявно заданной функции.
- •Производная обратной функции
- •4.11. Таблица производных основных элементарных функций.
- •4.12. Производные высших порядков
- •4.13. Дифференциалы высших порядков
- •Приложение второй производной в механике
- •4.15Применение первой производной к исследованию графика функции
- •4.15.1Признаки возрастания и убывания функции.
- •4.15.2. Необходимое и достаточное условия экстремума
- •4.15.3. Первое правило нахождения экстремумов
- •4.16 Применение второй производной к исследованию графика
- •4.16.1. Второе правило нахождения экстремумов
- •4.16.2. Выпуклость и вогнутость кривой
- •4.17. Уравнения касательной и нормали
- •4.18. Асимптоты кривой
- •4.19. Общая схема исследования функций
- •4.20. Контрольное задание №2
4. Дифференциальное исчисление
4.1Производная функции
Производной функции у = f (х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при 0:
y
- приращение функции у;
- приращение аргумента х.
4.2. Геометрический смысл производной
Производная функции f(х) в точке х0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке х0, то есть у = tg a, где a – угол наклона касательной к оси Ох в данной точке.
Уравнение касательной к данной кривой у = f(х), проходящей через точку на ней М (х0, у0) имеет вид:
у – у0 = f ¢ (х0) (х – х0),
где угловой коэффициент k =tg a в точке х0 и равен производной функции в этой точке.
4.3 Механический смысл производной
Производная функции – есть мгновенная скорость изменения функции в точке х0. Возьмем в качестве функции путь S, а в качестве аргумента время t. Средняя скорость движения материальной точки в промежутке времени t равна отношению промежутка пути S к промежутку времени t. Если устремим промежуток времени к нулю, t 0, то получим мгновенную скорость движения материальной точки и эта мгновенная скорость равна производной от пути по времени. Обозначается это так:
V = S = .
4.4 Применение производной в экономических задачах.
В экономической теории существует понятие эластичности, которое было введено А. Маршалом в связи с анализом функций спроса. С математической точки зрения понятие эластичности определяется с помощью понятия производной.
Эластичностью функции (function elasticity) - называется предел отношения относительного приращения функции y/у к относительному приращению х/х, когда х0 и у0. Эластичность обозначается символом Е(у) и выражается формулой :
Е(у)=
4.5. Дифференциал функции
Дифференцирование функции – это нахождение (отыскание) производной функции.
Дифференциалом функции у = f(х) называется главная часть её приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента dх называется приращение аргумента х. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
dy = f (x) dx.
4.6. Основные правила дифференцирования
-
Производная от суммы (разности) функций u = u(х) и v = v(х) равна сумме (разности) производных этих функций:
(u v) = uv
-
Постоянный множитель c можно выносить из-под знака производной:
( c• u ) = с• u
-
Производная от произведения двух функций u = u(х) и v = v (х) вычисляется по формуле:
(uv)=u• v+u• v
-
Производная от частного двух функций вычисляется по формуле :
4.7. Правило дифференцирования сложной функции
Если у = f (u), а u = u (х), то есть y = y{u (х)}-сложная функция, тогда производная сложной функции находится по формуле:
yx = yu• ux
Пример
Найти производную сложной функции:
у = ( х2 +5)3
Решение: обозначим у = u3, где u = х2 + 5, запишем производные
уu = 3u2 ux = 2х, подставим в формулу производной сложной функции:
ух = 3u2 2х = 3(х2 + 5)2 2х .