34

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Красноярский государственный торгово-экономический институт»

МАТЕМАТИКА

Индивидуальные задания для слушателей довузовской подготовки, обучающихся в рамках научно-образовательного проекта

«Профессия и здоровье»

Красноярск 2006

УДК 51(076)

Печатается по решению Редакционно-издательского совета института

Математика : индивидуальные задания / Краснояр. гос. торг.-экон. ин-т ; сост. Т. В. Лавриенко. – Красноярск, 2006. – 34 с.

УДК 51(076)

© ГОУ ВПО «Красноярский государственный

торгово-экономический институт», 2006

Оглавление

Введение………………………………………………………………................4

Решение некоторых типовых задач…………………………………………....4

1. Решение уравнений…………………………………………………….......4

2. Решение неравенств…………………………………………………..........5

3. Тождественные преобразования тригонометрических выражений…….7

4. Решение задач………………………………………………………………8

Варианты индивидуальных заданий…………………………………..............8

Библиографический список……………………………………………………34

Введение

Индивидуальные задания ориентированы на учащихся выпускных классов лечебно-оздоровительного комплекса, обучающихся на этапе до вузовской подготовки.

Дети, больные сколиозом, при соблюдении особого режима, могут учиться успешно на подготовительном отделении, а в дальнейшем и в вузе.

Для повышения адаптированности старшеклассников к новым для них социальным условиям следует проводить работу по повышению поисковой активности и снижению пассивной установки, а также должно быть твердое знание школьного курса математики и умение на его основе решать следующие стандартные задания:

1. производить арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных дробей;

2. производить тождественные преобразования многочленов, дробей, содержащих переменные; выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;

3. строить графики линейной квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и тригонометрической функции;

4. решать уравнения и неравенства первой и второй степени уравнения и неравенства, приводящие к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводящие к ним;

5. решать задачи на составление уравнений и систем уравнений;

6. изображать геометрические фигуры на чертеже и производить простейшие построения на плоскости;

7. использовать геометрические представления при решении алгебраических задач, а методы алгебры и тригонометрии – при решении геометрических задач.

Неотъемлемой частью подготовки к экзаменам по математике является самостоятельное решение задач. Перед выполнением работы тщательно изучите по школьному учебнику или пособию по математике, рекомендованному для подготовительных отделений вузов, соответствующий теоретический материал. Затем приступайте к выполнению своего варианта.

Решение некоторых типовых задач

1. Решить уравнение

Пример 1. .

Запишем уравнение в виде и возведем обе части в квадрат. Получим 2x – 3 = x + 3, x = 5. Сделаем проверку: т. е. – верное числовое равенство.

Ответ: х = 5.

Пример 2. .

Запишем уравнение в виде и возведем обе части в квадрат:

х + 4 = 49 - 14.

14 (обе части возведем в квадрат) 196 (2x + 6) =

^{; .}

Сделаем проверку: при x = 5 верное числовое равенство , 7 = 7.

Число x = 285 – посторонний корень, так как.

Ответ: x = 15.

Пример 3. обозначим , получим квадратное уравнение , ,, , х = 1.

Второе значение не удовлетворяет условию задачи, так как при всех х. Ответ х = 1.

Пример 4. ,

ОДЗ находится решением системы

.

Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим =3-x, а уравнение примет вид =3-x.

По определению логарифма, имеем .

Полагая , y > 0, получаем 9 – y = =>

Следовательно, или , т.е. .

Но – посторонний корень, так как не входит в ОДЗ.

Ответ: x = 0.

2. Решить неравенство

Пример 1. <2.

Имеем

.

Находим корни квадратного трехчлена

Решаем уравнение,

.

Следовательно, .

Неравенство равносильно неравенству , которое решается методом интервалов.

Получаем ответ: .

Пример 2. .

Запишем неравенство в виде .

Данное неравенство равносильно системе неравенств

Решаем методом интервалов

Первое неравенство х < -2 или х > 2;

второе неравенство х < -4 или х > 2.

Решая систему и совмещая результаты, получаем

Ответ: .

Пример 3. , тогда , а .

Получаем неравенство или

(t + 3) (t - 8) < 0, откуда -3 < t < 8. Получили двойное неравенство .

Левое неравенство выполнимо при всех х, так как (арифметический корень).

Следовательно, достаточно решить правое неравенство . Это неравенство равносильно системе.

Неравенство выполнено при всех (так как Д < 0 и ).

Получили, что последняя система равносильна неравенству , , , .

Ответ: (-9; 4).

Пример 4. .

Решение. Так как , функция монотонно убывает, и поэтому . Решаем полученное неравенство: ; ; ; ; .

Применяя метод интервалов, получим 1 < x < 4.

Ответ: (1; 4).