52

Міністерство аграрної політики та продовольства України

Дніпропетровський державний аграрний університет

Кафедра теоретичної механіки та опору матеріалів

С.В. Кагадій

В.М. Швайко

Розрахунок статично невизначуваних рам

Навчальний посібник

до самостійної роботи з

опору матеріалів та будівельної механіки

Дніпропетровськ 2011

На конкретних прикладах розглянуті розрахунки статично невизначуваних рам. Розкриття статичної невизначуваності виконане методом сил, а визначення необхідних переміщень - способом Верещагіна.

Наведені короткі теоретичні відомості та приклади розв’язування типових задач по даній темі. У додатку приведені варіанти розрахункових завдань. Для студентів інженерних спеціальностей очної та заочної форм навчання.

Табл. I, іл. 21, бібл. 10 назв.

Рецензент: доктор техн. наук, професор Красовський В.Л.

Навчальний посібник схвалено і рекомендовано до видання методичною комісією екологомеліоративного факультету ДДАУ| (протокол № _8__ від "_20_" _травня_" 2011 р.).

Відповідальний за випуск: професор Дем’яненко А.Г.

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА………………………………………………………………………………... 4

1. СТАТИЧНО ВИЗНАЧУВАНІ РАМИ. ПОБУДОВА ЕПЮР ПОЗДОВЖНІХ, ПОПЕРЕЧНИХ СИЛ, ЗГИНАЛЬНИХ МОМЕНТІВ………………………………….….. 5

2. ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В СТАТИЧНО ВИЗНАЧУВАНИХ РАМАХ.

СПОСІБ ВЕРЕЩАГІНА………………………………………………………………..….. 11

3. СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧУВАНІ РАМИ. МЕТОД СИЛ …………………………….… 16

4. ПРИКЛАДИ РОЗРАХУНКУ ПРОСТИХ СТАТИЧНО НЕВИЗНАЧУВАНИХ РАМ …28

ЗАВДАННЯ 1……………………………………………………………………… 28

ЗАВДАННЯ 2……………………………………………………………………… 37

ЗАВДАННЯ 3……………………………………………………………………… 42

Рекомендована літиратура ………………………………………………… 49

ДОДАТОК ………………………………………………… 50

Передмова

Навчальний посібник складено з метою надання допомоги студентам очної і заочної форм навчання при виконанні ними розрахунково-проектувальних робіт на тему "Розрахунок статично невизначуваних рам".

Передбачається, що теоретичний матеріал (по конспекту лекцій і рекомендованим підручникам) вивчений. Приведені короткі відомості з теорії супроводжуються простими прикладами, що готують студента до засвоєння методики рішення типових задач.

Для перевірки правильності визначення реакцій в'язів рекомендується по-іншому вибрати основну систему і повторити їх визначення. Результати повинні співпадати.

У розрахунково-проектувальних роботах не слід давати детальне описання рішення, як це зроблено в даному навчальному посібнику.

I. Статично визначувані рами. Побудова епюр поздовжніх, поперечних сил, згинальних моментів

Рама представляє систему стержнів, жорстко з'єднаних між собою у вузлах. Стержні рами в основному працюють на згин. При їх деформації кути між стержнями у вузлах не змінюються. Рама називається плоскою, якщо осі усіх її стержнів лежать в одній площині, в цій же площині розташоване діюче на раму навантаження.

Рама буде статично визначуваною, якщо внутрішні силові фактори (чинники) можуть бути визначені за допомогою методу перерізів (без розгляду умов деформації рами). Інакше кажучи, якщо опорні реакції і внутрішні силові чинники можуть бути знайдені з рівнянь статики, то рама буде статично визначуваною. Якщо ж внутрішні силові фактори в поперечних перерізах складових її брусів або реакцій в опорах не можуть бути визначені тільки з рівнянь статики, рама є статично невизначуваною. На рис. I приведені приклади статично визначуваних (а, б) і статично невизначуваних (в, г) рам.

а) б)

Х₃

Х₁ Х₁

Х₃ Х₂ Х₂

в) г)

Х₄ Х₄

Х₁ Х₁ Х₅

Х₃ Х₂ Х₃ Х₂

Рис. I

Як відомо з теоретичної механіки, для плоскої довільної системи сил можна скласти три лінійно незалежних рівнянь статики. Жорстке затиснення містить три невідомі реакції, нерухомий шарнір - дві і рухомий шарнір - одну. Для визначення трьох невідомих реакцій для рам, представлених на рис. 1 а, б, можуть бути складені три необхідні рівняння статики. Трьох рівнянь статики недостатньо для визначення опорних реакцій рам, представлених на рис. 1 в, г - ці рами статично невизначувані: один раз - рама представлена на рис. 1 в і двічі - рама, представлена на рис. 1 г.

Для визначення внутрішніх силових факторів використовується метод перерізів, при цьому можна керуватися тими правилами, які були дані стосовно балок. Нагадаємо їх:

внутрішня поздовжня сила в поперечному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на поздовжню вісь даного стержня усіх зовнішніх сил, прикладених до рами по одну сторону від проведеного перерізу;

внутрішня поперечна сила чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, прикладених до рами по одну сторону від проведеного перерізу;

внутрішній згинальний момент чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зовнішніх сил, прикладених до рами по одну сторону від даного перерізу, відносно центру ваги цього перерізу.

Побудову епюр внутрішніх силових чинників для рам потрібно починати з визначення опорних реакцій. Для рам, що мають жорстке закріплення на одному кінці, а інший кінець вільний, можна визначати внутрішні силові фактори і будувати епюри, рухаючись від вільного кінця до затисненого. Опорні реакції одержимо з епюр.

При побудові епюр внутрішніх силових чинників їх значення відкладаються на перпендикулярах до осей стержнів рами.

Ординати епюри поздовжніх сил відкладаються по обидві сторони від осі даного стержня. На епюрі поздовжніх сил обов'язково вказується знак ("+" відповідає розтягу, "-" - стиску).

Ординати епюри поперечних сил відкладаються по напряму дії рівнодіючої зовнішніх сил, прикладених зліва від даного перерізу (спостерігач знаходиться всередині контура рами і повернений обличчям до даного стержня). Цим правилом користуються при русі по контуру рами за рухом годинникової стрілки і зліва направо. Якщо ж рух здійснюється в протилежному напрямі (проти руху годинникової стрілки і справа наліво), то ординати поперечної сили відкладаються в напрямі, протилежному напряму рівнодіючої зовнішніх сил, прикладених праворуч від даного перерізу. Знаки на епюрі поперечних сил, як правило, не ставлять.

Ординати епюри згинальних моментів відкладаються у бік стислих волокон даного стержня. Знаки на епюрі також не ставляться.

Розглянемо приклади.

Приклад I. Побудувати епюри поздовжніх, поперечних сил і згинальних моментів для рами, представленої на рис. 2 а.

Розв’язування. Оскільки рама має тільки жорстке затискання в перерізі А, опорні реакції можна не визначати.

Побудова епюри поздовжніх сил. У горизонтальному стержні (рігелі) ВD поздовжні сили виникати не будуть, оскільки на раму не діють горизонтальні сили.

Стояк СА знаходиться під дією стискаючої сили 3qa. Розглядаючи переріз I - I на відстані y , від точки С і складаючи рівняння рівноваги верхньої частини стояка, одержимо:

3qa + N = 0,

звідки

N = - 3qa.

Ординати епюри N відкладаємо по обидві сторони від осі стержня АС, при цьому обов'язково слід вказати знак (в даному випадку "-", оскільки стержень АС стиснутий).

Епюра поздовжніх сил приведена на рис. 2 б.

2 3

q

B C D

В а С 2а D

a) х₁ у₁ б)

2 I I 3 x₂

3 qa

x 3a

V_A

M_A H_A

A A

2 qa 0,5 qa²

B C D

B C D

qa 2 qa²

в) г)

A A

1,5 qa²

Рис. 2.

Побудова епюри поперечних сил. На стояк АС зовнішні горизонтальні сили не діють, тому поперечні сили в його поперечних переризах відсутні. Епюру поперечних сил в горизонтальному стержні ВD будуватимемо, рухаючись від точок В і D до точки С.

Для перерізів 2 - 2 і 3 - 3 горизонтальних стержнів аналітичні вирази для поперечної сили мають вигляд:

Q (x₁) = - qx₁, Q (x₂) = qx₂,

звідки випливає, що поперечні сили в перерізах B ( Q_B ), в перерізі С , ліворуч ( Q_C^л ), в перерізі D ( Q_D ), в перерізі С , праворуч ( Q_C^п ) будуть:

Q_B = 0, Q_C^л = - qa, Q_D = 0, Q_C^п = q2a = 2qa.

У точці С на епюрі поперечних сил має місце стрибок на величину поздовжньої сили в стояку АС

qa + 2qa = 3qa.

Враховуючи значення поперечних сил в окремих перерізах будують епюру, представлену на рис. 2 в.

Визначивши ж заздалегідь (за допомогою рівнянь рівноваги) реакції опори А : Н_А = 0, V_A = 3qa, M_A = 1.5qa², можна було б визначати величину поперечної сили в перерізах стержня СD з аналітичного виразу

Q (x) = - qx + V_A

у відповідності з яким

Q_C^п = - qa + 3qa = 2qa, Q_D = - 3qa + 3qa = 0.

Побудова епюри згинальних моментів. Аналітичні вирази згинальних моментів для перерізів I - I, 2 - 2 і 3 – 3 (рис.2 а), мають вигляд:

M(y) = 0,5q(2a)² - 0,5qa² = 1,5qa², M(x₁) = 0,5qx₁², M(x₂) = 0,5qx₂².

Відповідно до цих виразів, будуємо епюру згинальних моментів в перерізах стержнів рами, пам'ятаючи, що моменти відкладається у бік стислого волокна. Епюра М представлена на рис.2 г.

Приклад 2. Побудувати епюри поздовжніх, поперечних сил і згинальних моментів для рами, представленої на рис. 3 а.

Розв’язування. Визначаємо опорні реакції:

 m_А = 0, M₀ - V_D2a = 0, V_D = 0,5M₀ / a,

 m_D = 0, M₀ - V_A2a = 0, V_A = 0,5M₀ / a.

Побудова епюри поздовжніх сил. Поздовжні сили виникатимуть тільки в стояках AВ і СD, оскільки зовнішні сили ( реакції V_A і V_B ) перпендикулярні осі стержня ВС . Для перерізів I - I і 2 - 2, що знаходяться від точок А і D на відстанях y₁ і y₂ відповідно, вирази поздовжніх сил мають вигляд:

N(y₁) = V_A = 0,5M₀ / a, N (y₂) = - V_D = -0,5M₀ / a,

тобто стержень АВ розтягується, а стержень DC - стискається. Епюра поздовжніх сил представлена на рис. 3 б.

Побудова епюри поперечних сил. У стояках АВ і DС поперечні сили не виникають, оскільки діючі сили (реакції V_A і V_D ) мають вертикальний напрям. У рігелі ВС поперечна сила виникатиме, вираз для неї має вигляд:

Q(x₁) = - V_A = - 0,5M₀ / a.

M₀

B a K a C В С

a) б)

x₁ a

x₂ 2 

3 a 2

y₂ V_D 0,5 M₀ / a 0,5 M₀ / a

1 1 D

y₁

D

A

A

V_A

0,5 M₀

B C B C

в) 0,5 M₀ / a г) 0,5 M₀

D D

A A

Рис. 3.

Епюра поперечних сил представлена на рис. 3 в.

Побудова епюри згинальних моментів. Сили V_A і V_D не можуть викликати згинальних моментів в стояках АВ і DC, оскільки лінії їх дії співпадають з осями відповідних стержнів. Згинальний момент виникатиме тільки в перерізах горизонтального стержня ВС .

Вирази згинальних моментів для перерізів з координатами x₁ і х₂ мають вигляд:

M(x₁) = - V_Ax₁ x₁  [ 0, a], M(x₂) = - V_Ax₂ + M₀ x₂  [ a, 2a],

Відповідно до цих виразів маємо:

M_B = M(x₁ = 0) = 0, M_K^л = M(x₁ = a) = - V_Aa = - 0,5M₀,

M_K^п = M(x₂ = a) = - V_Aa + M₀ = 0,5M₀, M_C = M(x₂ = 2a) = 0.

По цих значеннях згинальних моментів і побудована епюра, представлена на рис. 3 г.