Контрольная работа / 0794284_1B912_markovskaya_cep_graf_sostoyaniy_stacionarnoe_raspredelenie_v / Индивидуальное задание №1

Задание:

Для Марковской цепи задана матрица вероятности перехода из состояния в состояние. Число состояний равно 2. Для момента t=0 известно распределение вероятностей по состоянию, которое задается вектором q. Построить граф состояний на основании матрицы P₁ и определить:

1. Вероятность того, что в момент времени t=1 Марковская цепь будет находиться во втором состоянии;

2. Матрицу перехода P₂ из состояния в состояние за 2 шага;

3. Распределение вероятности по состояниям в момент времени t=2;

4. Стационарное распределение вероятностей.

Построим граф состояний на основании матрицы P₁

Рисунок 1 – Граф состояний

1. Вероятность того, что система на k-м шаге будет находиться в состоянии Sj, обозначим Pjk. Тогда распределение вероятностей на шаге k по состояниям будет представляться вектором:

, где m – число состояний

Зная матрицу перехода за n шагов () можно определить распределение вероятностей по состояниям на k+n шаге

Наша цель определить вектор:

Таким образом, вектор , следовательно, в момент времени t=1 Марковская цепь будет находиться во втором состоянии с вероятностью равной 0,75.

2. Для определения матрицы перехода за n шагов исходная матрица возводится в степень, соответствующую количеству шагов.

Для определения матрицы перехода за 2 шага ( необходимо возвести матрицу в квадрат.

Таким образом, матрица перехода P₂ из состояния в состояние за 2 шага имеет вид:

3. Распределение вероятности по состояниям в момент времени t=2

Таким образом, в момент времени t=2 Марковская цепь будет находиться в первом состоянии с вероятностью равной 0,225, во втором состоянии с вероятностью 0,775.

4. Распределение вероятности называется стационарным, если от шага к шагу она не изменяется. Стационарное распределение подчиняется условию:

Для нахождения значений элемента вектора необходимо записать систему уравнений.

Исключим уравнение 2 из системы уравнений. Затем, решая систему из уравнений 1 и 3, получаем значения

0,3 + =

Предельные (финальные) вероятности равны и соответственно равны 0,222 и 0,778.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное агентство по образованию (Рособразование)

Новомосковский институт (филиал)

ГОУ ВПО «Российский химико-технологический университет

имени Д.И. Менделеева»

Кафедра

Вычислительная техника и информационные технологии

Расчётно – графическое задание № 1

по курсу «Моделирование систем»

Студент:

Группа: АС-07-1

Преподаватель: Халепа Н.В.

Новомосковск 2011