Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
14
Добавлен:
20.02.2014
Размер:
171.01 Кб
Скачать

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

РАСЧЕТ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Методические указания к курсовой работе

по курсу “Моделирование систем управления”

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

САРАТОВ - 2001

ВВЕДЕНИЕ

Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.

Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.).

Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.

Практически все природные явления и функции могут быть описаны семью дифференциальными уравнениями в частных производных.

В данной курсовой работе решается вопрос построения математической модели элемента на основе теории распределенных сигналов.

Цель работы – синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

  1. Общие сведения об основных характеристиках

систем с распределенными параметрами

Основной характеристикой СРП является континуальная передаточная функция. Она показывает отношение выходной функции к входной (по Лапласу) в привязке к конкретной точке.

В искомой задаче выходная функция будет обозначаться буквой Q(x, t), где x – трехмерная переменная в декартовых, цилиндрических или сферических координатах.

f(x,t) – входная координата по среде, зависящая от трехмерной координаты x и времени t.

Основное уравнение задачи записывается в виде:

где l – так называемый оператор дифференциального уравнения – это формула преобразования выходной величины Q.

В каждой задаче определяются граничные или краевые условия

где Г– оператор граничных или краевых условий.

g – входное воздействие на границе в каждый момент времени.

Для того, чтобы решить задачу во всей области координат, необходимо знать ее значения в каждой точке по границе области.

Начальные условия для задачи записываются в виде:

где N– оператор начальных условий;

Q0 (x) – значение искомой функции в заданный момент времениt0в каждой точке пространстваx.

Получили систему:

(1)

Необходимо знать:

  1. Значение функции на границе в каждый момент времени .

  2. Значение в каждой точке области в момент времени t0.

В указанном виде (1) система практически не разрешима. Вводится в рассмотрение так называемая стандартная форма записи (1). Она подразумевает нулевые граничные и начальные условия. Ее вид:

(2)

где (x, t)– стандартизующая функция.

при Г=0, N=0 - входное воздействие на систему при нулевых граничных и начальных условиях и первая из трех основных функций, которая понадобится при решении (из справочника).

Второй функцией является функция Грина (импульсная переходная функция, функция влияния, функция источника, функция веса).

Функцией Грина называется функция источника, которая равна выходному сигналу

,

при ,

где - пространственная- функция по координатамx, y, z.

-- функция по времени;

x – координаты входного возмущения;

 - координаты точки отклика от удара.

С учетом этого стандартная задача (2) перепишется в виде:

(3)

где функция Грина от G(x, t)берется из справочника и является второй основной характеристикой.

Зная эти две характеристики можно найти выходную функцию по следующему выражению:

(4)

Если задача статическая, то есть отсутствует уравнение времени t, то ее можно записать в виде:

(5)

Стандартная форма записи будет выглядеть в виде:

(6)

при однородных (нулевых) граничных условиях.

Функция Грина такой задачи удовлетворяет системе уравнений:

(7)

x– координаты возмущения;

 - координаты отклика.

Решение задачи в этом случае выглядит следующим образом

. (8)

Бывают задачи, в которых отсутствуют пространственные координаты, т.е. процесс во времени. В таком случае задача записывается следующим образом:

(9)

Стандартная форма записи:

(10)

Функция Грина:

(11)

Решение такой задачи имеет вид:

(12)

Таким образом, для решения этой задачи принципиально достаточно трех формул (4),(8),(12), то есть по двум справочным функциям (нормирующей и Грина) можно всегда определить выходную функцию Q.

Для управления и синтеза системы управления, исходя из ТАУ, необходимо знать передаточную функцию. В теории СРП вводится понятие так называемой континуальной передаточной функции, т.е. точечной передаточной функции, в пределах области D, когда возмущение подается на среду в точкеxфункциями:и, а реакция регистрируется в точке.

Континуальная передаточная функция выражается следующим образом:

. (13)

По сути, континуальная передаточная функция – это преобразование Лапласа функции Грина, т.е. при этих функциях континуальная передаточная функция является производной и всегда может определиться по функции Грина.

Таким образом, для решения задачи по СРП необходимо знать две функции: нормирующую функцию и функцию Грина.

Теория СРП включает структурный метод ТАУ, который подразумевает операции с распределенными блоками:

  1. блоки соединяются последовательно;

  2. блоки соединяются параллельно;

  3. включение второго блока в обратную связь.

В связи с этим вводится понятие операторного изображения выходной величины. В теории распределенных блоков выходная величина определяется следующим образом:

, (14)

где - изображение по Лапласу выходной величины решаемой задачи;

- континуальная передаточная функция;

- изображение по Лапласу нормирующей функции.

Если удается из нормирующей функции выделить в явном виде компоненту входной координаты с помощью специальных средств или методов

, (15)

то уравнение (14) перепишется в виде:

(16)

С помощью двух способов (коэффициент разложения и коэффициент приближения) по возможности выносится входное возмущение (по Лапласу) за знак интегрирования, получим:

(17)

Полученное выражение (17) – отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входного возмущения, как интеграл по области D континуальных функций, называется интегральной передаточной функцией (функция Власова В.В.).

Разделяя полученное выражение на действительную и мнимую части и используя формулы:

; (18)

(19)

строим графики ЛАЧХ и ФЧХ, после чего построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее с погрешностью 5 % типовыми звеньями и записать выражение аппроксимированной передаточной функции.

Соседние файлы в папке Вариант 16