Вариант №18.

Цель выполнения курсовой работы: Освоение методов построения математических моделей элементов систем управления. Исследование свойств элементов методом математического моделирования.

Тема и состав курсовой работы: Построение и исследование математических моделей элементов систем управления. Курсовая работа включает три задания.

Задание 1. Построить математическую модель, временные и частотные характеристики заданного элемента. Провести моделирование прохождения через элемент различных сигналов во временной области.

1. 1.2 Построить передаточную функцию по заданному каналу. Построить математическую модель элемента в виде дифференциального уравнения.

рисунок 1

Дано: R1=324 [Ом] R2=393 [Ом]

C=39697 [мкФ]

Комплексные сопротивления элементов электрической схемы:

Для сопротивления R

Для ёмкости С

После преобразований получаем новую схему:

рисунок 2

Схема как делитель напряжения на сопротивлениях в операторном виде Z1 и Z2.

Выходное напряжение учитывая

Передаточная функция будет иметь вид:

Для схемы рисунка 1

Введем обозначения:

; ; ;

Тогда передаточная функция примет вид:

Из выражения передаточной функции получим дифференциальное уравнение:

Используя обратное преобразование Лапласа, запишем:

Рассчитаем коэффициенты передаточной функции:

[с] [с]

Подставим рассчитанные коэффициенты в передаточную функцию:

1.3 Исследование временных характеристик элемента системы управления. По полученной в задании 1.2 передаточной функции найти выражения для весовой и переходной характеристик и построить их графики.

Операторный метод решения дифференциальных уравнений основан на использовании преобразования Лапласа, позволяющего преобразовать дифференциальное уравнение в алгебраическое, что упрощает их решение.

Последовательность нахождения реакции элементов систем управления на временной входной сигнал x(t):

• нахождение преобразования Лапласа x(p) от входного сигнала x(t)

• нахождение преобразования выходного сигнала y(p)=W(p)·x(p)

• нахождение временного выходного сигнала y(t) путем обратного преобразования Лапласа выходного сигнала y(p)

Последовательность получения обратного преобразования Лапласа от y(p)=M(p)/N(p):

• определяются корни характеристического уравнения выражения для y(p)

• в зависимости от вида корней записывается выражение для выходной переменной y(t).

1. Построение весовой характеристики системы.

Изображение дельта-функции Дирака (входного сигнала для весовой функции) имеет вид:,

Изображение выходной величины:

Найдем обратное преобразование Лапласа от y(p). Для этого необходимо найти корни характеристического уравнения.

Т. к. корень простой (не комплексный), не нулевой, не кратный, то выражение для y(t) при t≥0 имеет вид:

Весовая характеристика будет иметь вид:

рис 3 «График весовой характеристики системы»

2. Построение переходной характеристики системы.

Изображение единичной функции Хевисайда (входного сигнала для переходной функции) имеет вид:

Изображение выходной величины:

Найдем обратное преобразование Лапласа от y(p). Для этого необходимо найти корни характеристического уравнения.

Т. к. корни простые (не комплексные), не кратные, и имеется один нулевой корень, то выражение для y(t) при t≥0 имеет вид:

Переходная характеристика будет иметь вид:

Возьмём производную от переходной характеристики:

Полученное выражение совпадает с весовой характеристикой, следовательно, расчет выполнен правильно. Построим график переходной характеристики.

1.4 Используя символьные вычисления в MathCAD получим выражения и построим графики весовой и переходной характеристик. Полученные результаты сравним с результатами 1.3

Проверим правильность расчета весовой и переходной характеристик с помощью MathCAD.

Как видно из графика, найденные значения весовой и переходной характеристик верны.

5. Рассчитаем и построим графики амплитудно-частотной и

амплитудно-фазовой характеристик, логарифмических характеристик.

Последовательность нахождения частотных характеристик:

• сделать замену в передаточной функции p = j·ω

• освободиться от мнимых чисел в знаменателе путём умножения числителя и знаменателя выражения на комплексно сопряженное число знаменателю

• раскрыть скобки и привести подобные члены, и разделить выражение в числителе на сумму вещественного и мнимого полиномов

• записать выражение для амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик

• записать выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики

• построить графики частотных характеристик.

где U(ω) – вещественная частотная характеристика

V (ω) – мнимая частотная характеристика

Подставим значения коэффициентов:

1) Построим амплитудно-частотную характеристику:

2) Построим фазо-частотную характеристику:

3) Построим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику:

Проверим правильность расчетов частотных характеристик устройства с помощью MathCAD.

A1(w) - амплитудно-частотная характеристика

φ1(w) - фазо-частотная характеристика

D1 (w) - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика.

Проверка показала, что частотные характеристики построены, верно.

Задание 3. Математическое моделирование работы электропривода.

Постановка задачи:

Заданы параметры электрического привода с двигателем постоянного тока. Необходимо построить математическую модель электропривода при различных исходных данных.

Определение параметров математической модели электрического привода по паспортным данным двигателя и характеристикам нагрузки.