курсовая работа / Даньшова / курсовая Мефёдова

ВВЕДЕНИЕ

Под моделированием понимается процесс замещения реального объекта некоторой моделью, позволяющей проводить над ней определенные исследования. В зависимости от уровня абстрагирования выделяют три иерархических уровня: микро-, макро- и мегауровень. Цель курсовой работы — моделирование некоторых физических процессов на микро- макроуровне.

Под моделированием на микроуровне понимается также теория систем с распределенными параметрами. Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.). Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы зависят от пространственных координат и времени. Математически СРП описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с начальными и граничными условиями, составляющие краевую задачу. Для ее решения в статике и динамике используется функция Грина, являющаяся решением краевой задачи при входном воздействии в виде дельта-функции и нулевых начальных и граничных условиях, а также континуальная передаточная функция, являющаяся преобразованной по Лапласу функцией Грина. В данной работе, при моделировании на микроуровне решается вопрос построения математической модели мембраны, жестко закрепленной по краям.

На макроуровне исследуется гидравлическая система. При разработке и исследовании модели макроуровня необходимо выполнить: синтез моделей в графической и матричный формах, в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнениях, а также анализ полученной математической модели в статическом и динамическом режиме.

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ НА МИКРОУРОВНЕ

1.1 Выбор уравнения и его идентификация

Уравнения математической физики являются основой для построения математической модели элементов и систем управления с распределенными параметрами. Для их практического применения основной сложностью является выбор уравнения, которое могло бы заданной точностью и степенью достоверности описать интересующий элемент системы.

Рассмотрим процесс колебания струны под действием на нее давления.

Колебательные процессы описываются уравнениями гиперболического типа. Рассмотрим одномерную задачу: распространение колебаний по струне.

Выберем дифференциальное уравнение:

Н ачальные условия:

Q(x,0)=Q₀(x)=kx , k=0.1

Q₁(x)=0

Граничные условия ( с учетом, что один конец струны жестко закреплен):

;

0 < x < 1, t > 0, a = 0, l =0.3 м.- длина струны

Входное воздействие:

f(x,t)=0

Коэффициент а представляет собой отношение поверхностного натяжения Т[Н/м]к плотности струны и имеет размерность а=[м/с]. В данной работе принимаем а=1 м/с. Принимаем [1/с].

Стандартизирующая функция: =f(x,t)+Q(x)[’(t)+2(t)]+Q(x)(t)+a’(x)g(t)+ a’(l-x)g(t),

где Q0(t) – начальная функция, описывающая искомую функцию Q в начальный

момент времени,

Q(t) – производная от Q(t), [м]

g(t) – граничные условия, [м/с]

(t) – импульсная переменная функция, [с]

’(t) – производная от (t) – функции по времени.

Функция Грина:

Континуальная передаточная функция:

1.2 Расчет статической характеристики. Расчет функции распределения.

Зная стандартизирующую функцию и функцию Грина можно найти выходную функцию, вычислением интеграла, представляющий собой основное соотношение, связывающее выход объекта при заданном начальном состоянии с выходными воздействиями:

Для этого вычислим составляющие Q(x,t) по формуле:

Q(x,t)=Q₁(x,t)+Q₂(x,t)+Q₃(x,t) ,

где

Получим:

Q(x,t)=Q₁(x,t)+Q₂(x,t)+Q₃(x,t)

Q(x,t)=

Построим функцию отклонения струны для t=0.1 с. :

Рисунок 1 – Отклонение струны для t=0.1 с.

Построим функцию отклонения струны для t=1 с:

Рисунок 2 – Отклонение струны для t=1 с.

Построим функцию отклонения струны для t=3 с:

Рисунок 3 – Отклонение струны для t=3 с.

1.3 Расчет динамической характеристики.

Расчет интегральной передаточной функции. Преобразование Лапласа от интегральной передаточной функции. Построение переходного процесса и частотных характеристик. Получение передаточной функции.

По заданному дифференциальному уравнению объекта получим выражение для передаточной функции в распределенных параметрах. Построим ЛАЧХ, аппроксимируем ее с погрешностью 5% , запишем выражение передаточной функции через типовые звенья.

Для расчета необходимо найти преобразование по Лапласу стандартизирующей функции, которая имеет вид:

=f(x,t)+Q(x)[’(t)+2(t)]+Q(x)(t)+a’(x)g(t)+ a’(l-x)g(t)

Преобразуя данное выражение, получим:

Изображение по Лапласу от нормирующей функции имеет вид:

Континуальная передаточная функция имеет вид:

Вычислим интегральную передаточную функцию по формуле:

W_s(x,p)=W_s1(x,p)+W_s2(x,p),

где

,

Получим:

W_s(x,p)=W_s1(x,p)+W_s2(x,p)

W_s(x,p)= -5.0*10^-5*

Зафиксировав значения величины x=0.15 м, найдем выражение для интегральной передаточной функции:

W_s(x,p)=1.0*10^-23*

В выражении для интегральной передаточной функции сделаем замену

Получим:

По полученной передаточной функции построим ЛАЧХ. Найдем выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики:

Аппроксимируя ЛАЧХ стандартными наклонами получим -20 дб/дек,

0 дб/дек, и -40дб/дек. Такие наклоны соответствуют инерционному и апериодическому звеньям. Запишем передаточную функцию

По графику определяем, что ЛАЧХ пересекает ось у в точке -26, тогда имеем: k=10^-26/20=0.05.

T_1, T₂ - постоянные времени, с.

Рисунок 4 – График логарифмической амплитудно-частотной характеристики.

					УИТС.423311.214 ПЗ	Лист
Изм	Лист	№ докум	Подп.	Дата.