курсовая работа / Даньшова / курсовая 2

2.4 Расчет статической модели в гидросистеме

При постоянном воздействии система находится в установившемся равновесном состоянии. Ее фазовая координата (давление Р и расход Q) при этом постоянна. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянном внешнем воздействии:

- давления к потребителю (Р_в1, Р_в2);

- подачи или давления насоса Q_н (Р_н).

При этом устанавливаются постоянные значения фазовых координат системы:

- расход в гидромагистралях;

- давление в упругом элементе.

Из данного утверждения следует:

Из ( ) и ( ) получаем систему для статического режима:

0= - Р_Д1+Р_У1-Р_В1

0= - Р_Д2+Р_У1-Р_В2

0= - Р_Д3+Р_У1-Р_В3

0=Q₁+Q₂+Q₃

Учитывая нелинейные свойства диссипативных элементов гидравлической системы, компонентное уравнение имеет вид:

Тогда статическая модель будет иметь вид:

Для ее решения используются численный метод, для которого предварительно сформируем матрицу Якоби J. Элементами матрицы Якоби для сформированной нелинейной системы являются частные производные от нелинейной вектор-функции F(V)=(f_1, f_2, f_3, f₅ ) по фазовым координатам системы ( Q₁, Q₂, Q_3, P_У1)

Нахождение частной производной по расходу от давления в диссипативном элементе ( ) имеет вид:

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

Для решения статической модели используем численный метод Ньютона, алгоритм которого включает следующие этапы:

- выбор начального приближения V=V₀, где V – вектор фазовых координат (Q₁, Q₂, Q₃, P_y1), V₀ – нулевой вектор – столбец;

- вычисление матрицы Якоби J_k в точке V_k (k=0, 1, 2….);

- вычисление вектора невязок F(V_k). Вектор невязок получается из системы уравнений ( ) для статического режима:

- определение вектора поправок:

- определение нового приближения вектора искомых фазовых переменных:

- проверка условия окончания итерационного процесса, при выполнении условия, что V_k и V_k+1 соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

1. Вычисление параметров трубопровода гидросистемы.

Значения коэффициентов линейных и нелинейных потерь для конкретной магистрали находят по формулам:

2.5 Анализ динамической модели гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем

случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, получающаяся из выражения (?), имеет вид:

где А – матрица Якоби,

- вектор фазовых координат,

- вектор-функция внешних воздействий,

- вектор функции внешних воздействий.

Для динамической модели матрицу Якоби можно сформировать на основе ( ) и ( ), аналогично статической модели:

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы ( ), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Пусть переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

где u₀ и u_k – начальное и конечное значение функции воздействия u(t), которая в нашем случае имеет вид:

м³/с, при t<0

м³/с, при t0,

Начальные и конечные значения всех фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния V₀ в состояние V_k. Для численного интегрирования будем использовать неявный метод Эйлера.

2.5.1 Выбор шага интегрирования.

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

,

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

det()=0,

где А – матрица Якоби динамической модели;

Е – единичная матрица.

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле ( ), подставляя начальные значения фазовых координат:

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к записи:

где - модифицированная матрица Якоби на k+1 шаге, которая формируется по следующему правилу:

Диагональные элементы матрицы Якоби на k-1 шаге пересчитываются по формуле:

Остальные элементы не изменяются. Для матрицы размерности 44 получаем:

- модифицированный вектор входных воздействий на k+1 шаге, определяемый по формуле:

Решение системы уравнений ( ) дает значение фазовых координат на k+1 шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1. задание шага интегрирования h;

2. задание начальных значений фазовых переменных при t₀=0;

3. вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k=0,1,2…;

4. вычисление модифицированных матриц и на k+1 шаге;

5. решение системы уравнений ( ) с целью определения в момент времени t_k+1;

Анализ графиков переходного процесса показывает, что система находиться

на границе устойчивости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения курсовой работы были получены статические и динамические характеристики систем, при анализе их на микроуровне и на макроуровне.

Построили математическую модель элемента, датчика температуры (термопары) на основе теории распределенных сигналов. Построили динамическую характеристику распределения температуры, ЛАЧХ, по которой получили передаточную функцию распределения температуры в датчике температуры:

Для гидравлической системы при анализе на макроуровне были получены статическая характеристика, то есть расходы воды во всех трубопроводах системы:

Фазовая координата	При QH=100*10^-6 м^3/с	При QH=200*10^-6 м^3/с
Q1, 10^-5 м^3/с	-15.28	7.072
Q2, 10^-5 м^3/с	4.672	8.412
Q3, 10^-5 м^3/с	-73.08	-68.62
Py1, 10^6 Па	-5.7022	-4.43759
Pнасоса, 10^4 Па	9.573	10.15

А также динамическая характеристика в виде переходного процесса, который свидетельствует о том, что гидравлическая система находиться на границе устойчивости.