курсовая работа / аодв / panther-2я часть!!!
.docСодержание
Содержание 2
Задание на работу 3
Введение 5
Основная часть 6
1. Идентификация дифференциального уравнения 6
2. Записать выражение для выходного сигнала 8
3. Синтез интегральной передаточной функции 10
4. Построение ЛАЧХ и ФЧХ и их апроксимация 11
Вывод 14
Список используемых источников 15
Задание на работу
Дифференциальное уравнение имеет вид:
Граничные условия:
Начальные условия: Q0(x) = 0, 1=1, 2=1, а1 = 2 а2 = 1,
f(x,t) = 106, x = 0,05,
Нормирующая функция:
Функция Грина имеет вид:
где
Континуальная передаточная функция имеет вид:
.
где - температура составного неограниченного стержня
По заданному дифференциальному уравнению объекта получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наилучших условий управления. Построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее с погрешностью 5%, записать выражение передаточной функции через типовые звенья.
Введение
Система с распределенными параметрами (СРП) – это система, в которой практически все сигналы (особенно входной и выходной) зависят от пространственных координат и времени.
Есть среды, которые не могут быть описаны в сосредоточенных параметрах (электромагнитное поле, электростатическое поле, течение потока, гравитационное поле, температура и т.д.).
Система с сосредоточенными параметрами является частным случаем СРП и вводится для упрощения и решения задач на первом (нулевом) этапе.
Практически все природные явления и функции могут быть описаны семью дифференциальными уравнениями в частных производных.
В данной курсовой работе решается вопрос построения математической модели элемента на основе теории распределенных сигналов.
Цель работы – синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами.
Основная часть
-
Идентификация дифференциального уравнения
По виду дифференциального уравнения определяем, что данное уравнение параболического типа.
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются общим уравнением диффузии:
.
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через u(x, t) температуру среды в точке х = (х1, х2, х3) в момент времени t. Считая среду изотропной, обозначим через (х), с(х) и k(х) соответственно ее плотность, удельную теплоемкость и коэффициент теплопроводности в точке х. Обозначим через F(х, t) интенсивность источников тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем баланс тепла в произвольном объеме V за промежуток времени (t, t+t) . обозначим через S границу V, и пусть n – внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье через поверхность S в объем V поступает количество тепла
,
равное, в силу формулы Гаусса-Остроградского,
.
За счет тепловых источников в объеме V возникает количество тепла:
.
Так как температура в объеме V за промежуток времени (t, t+t) выросла на величину
,
то для этого необходимо затратить количество тепла
.
С другой стороны Q3 = Q1+Q2 и потому
,
откуда, в силу произвольности объема V, получаем уравнение распространения тепла:
Если среда однородна, т. е. с, р и k — постоянные, то уравнение принимает вид:
где
Уравнение (13) называется уравнением теплопроводности. Число п пространственных переменных х1, х2,..., хп в этом уравнении может быть любым.
Как и в случае уравнения колебаний, для полного описания процесса распространения тепла необходимо задать начальное распределение температуры и в среде (начальное условие) и режим на границе этой среды (граничное условие).
Примеры граничных условий:
а) Если па границе S поддерживается заданное распределение температуры и0, то
u|s = и0.
b) Если на S поддерживается заданный поток тепла и1, то
с) Если па S происходит теплообмен согласно закону Ньютона, то
где h — коэффициент теплообмена и и0 — температура окружающей среды.
Аналогично выводится и уравнение диффузии частиц. При этом вместо закона Фурье нужно пользоваться законом Нэрнста для потока частиц через элемент поверхности ΔS за единицу времени:
где D(x) —коэффициент диффузии и и(х, t) — плотность частиц в точке х в момент времени t. Уравнение для плотности и будет иметь вид (11), где ρ обозначает коэффициент пористости, ρ = D и q характеризует поглощение среды.
-
Записать выражение для выходного сигнала
По заданной функции Грина и стандартизирующей функции можно определить функцию для выходного сигнала:
.
.
Для нахождения данного интеграла упростим нормирующую функцию и функцию Грина, подставив заданные значения, получим:
Подставим полученные выражения в уравнение по нахождению двойного интеграла и вычислим интеграл по координате и по времени:
Интегрируя данные выражения, получаем
Если координата х величина постоянная (х = 0,05),
График 1 – Зависимость выходной функции от времени
Если время t величина постоянная (t = 3), то можно записать
График 2 – Зависимость выходной функции от координаты
-
Синтез интегральной передаточной функции
1. Определим изображение по Лапласу нормирующей функции.
Так как exp∞ = 0 , то нормирующая функция примет вид:
2. Запишем входную функцию в изображении по Лапласу:
Так как exp∞ = 0 , то входная функция примет вид:
3. Найдем отношение изображения по Лапласу нормирующей функции к входной функции изображения по Лапласу:
4. Выведем отношение выходной величины по Лапласу Q(ξ, p) к входной величине по Лапласу f(ξ, p), т.е. найдем функцию Власова.
5. Производим замену p на jω:
6. С помощью MathCada выделяем в этой функции мнимую и действительную части:
где и
-
Построение ЛАЧХ и ФЧХ и аппроксимация
По полученной функции построим ЛАЧХ и ФЧХ.
График аппроксимируем по типовыми звеньям, передаточные функции: и
1 частота среза 1 = 10
2 частота среза 2 = 100
T1 = 1/1 = 0,1
T2 = 1/2 = 0,01
Определим k, при = 0
20*lgk = 34 дб
k = 52.
1 наклон равен 400 дб/декаду, следовательно степень 1го типового звена равна 20
2 наклон равен 1300 дб/дек, следовательно степень 2го типового звена равна 65
Производим замену p на jω:
С помощью MathCada выделяем в этой функции мнимую и действительную части и строим ЛАЧХ:
где и
Фактическая и аппроксимированная ЛАЧХ
Фактическая и аппроксимированная ФЧХ
Вывод
В данной работе мы провели идентификацию заданного дифференциального уравнения. Получили уравнение теплопроводности параболического типа.
Мы синтезировали интегральную передаточную функцию. В результате получили некоторую передаточную функцию, с помощью которой построили фактические ЛАЧХ и ФЧХ.
Провели аппроксимацию полученных характеристик. После аппроксимации мы можем судить о том какое звено имеет заданное дифференциальное уравнение, а следовательно можем проводить анализ системы, посмотреть какой будет переходный процесс, т. е. как будет себя вести система.
Цель работы достигнута, т. к. мы смогли с помощью аппроксимации получить конкретную передаточную функцию предложенного процесса.
Список используемых источников
-
Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами // Школа академика Власова: Сб. метод. тр. – М.: Буркин, 1998. – 128с.
2. Фролова М.А., Власов В.В. Расчет интегральной передаточной функции. Методические указания к лабораторной работе по курсу “Моделирование систем управления”. – Саратов: СГТУ, 2001. – 12 с.