- •Глава 3. Вступ до математичного аналізу
- •§3.1 Числова послідовність. Границя послідовності
- •§3.2 Функція. Границя функції. Теореми про границі. Неперервність функції.
- •3.2.1 Функція. Найпростіші властивості функції
- •3.2.2 Границя функції. Обчислення границь
- •3.2.3 Неперервність функції
- •Глава 4. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •§4.1 Означення похідної. Рівняння дотичної. Рівняння нормалі
- •1. Знайдіть похідну функції в точці X, використовуючи означення похідної.
- •4.1.2 Геометричне застосування похідної
- •§4.2 Правило обчислення похідних. Похідна показникової, логарифмічної, тригонометричної, складеної функцій.
- •Знайдіть похідні наступних функції:
- •II. Знайдіть похідну функції в т. :
- •§4.3 Монотонність функції. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значення функції.
- •4.3.1 Монотонність і екстремум функції
- •4.3.2 Найбільше і найменше значення функції
- •§4.4 Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої. Дослідження функції та побудова її графіка
- •4.4.1 Опуклість і вгнутість кривих
- •4.4.2 Асимптоти кривої
- •4.4.3 Схема дослідження функції та побудова її графіка
- •Глава 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •§5.1 Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла
- •Метод безпосереднього інтегрування
- •5.1.2 Метод підстановки (заміни змінної)
- •5.1.3 Метод інтегрування частинами
- •§5.2 Визначений інтеграл. Методи обчислення визначених інтегралів
- •5.2.1 Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •5.2.2 Властивості визначеного інтеграла
- •5.2.3 Формула Ньютона-Лейбніца
- •5.2.4 Заміна змінної у визначеному інтегралі (метод підстановки)
- •5.2.5 Метод інтегрування частинами
- •§5.3 Деякі застосування визначеного інтеграла: обчислення площ плоских фігур
- •Глава 6. Диференціальне числення функції багатьох змінних
- •§ 6.1 Означення функцій багатьох змінних. Частинні похідні функції багатьох змінних
- •6.1.1 Функція багатьох змінних. Область визначення. Лінії та поверхні рівня
- •6.1.2 Границя та неперервність функції
- •6.1.3 Частинні похідні першого порядку
- •6.1.4 Похідні та диференціали вищих порядків
- •§ 6.2 Повний диференціал функції багатьох змінних та його застосування
- •6.2.1 Повний диференціал функції та його застосування до обчислення значень функцій та похибок
- •Vі. Обчислити наближено:
- •Глава 7. Диференціальні рівняння
- •§ 7.1 Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку
- •7.1.1 Загальні поняття та означення. Геометричний зміст диференціального рівняння
- •§ 7.2 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- •7.2.1 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- •7.2.2 Однорідні диференціальні рівняння
- •§ 7.3 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •7.3.1 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
- •7.3.2 Диференціальні рівняння вищих порядків
- •§7.4 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
- •Глава 8. Ряди
- •§ 8.1 Числові ряди. Найпростіші властивості числових рядів
- •8.1.1 Основні поняття. Необхідна умова збіжності ряду
- •§ 8.2 Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності
- •§ 8.3Степеневі ряди Теорема Абеля. Інтеграл та радіус збіжності степеневого ряду
- •8.3.1 Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля
- •§ 8.4 Ряд Тейлора. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена
- •8.4.1 Розвинення елементарних функцій у ряди Тейлора і Маклорена. Наближені обчислення
- •§8. 5 Ряди Фур’є
- •8.5.1Тригонометричні ряди
- •8.5.2 Ортогональність системи функцій
- •Відповіді
- •Глава 5.
- •Глава 6.
- •Глава 7
- •Список рекомендованої літератури
- •Вища математика Збірник задач іі частина
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ БІЗНЕС-КОЛЕДЖ
Кацімон О.В.
ВИЩА МАТЕМАТИКА
Збірник задач
II частина
Черкаси – 2010
Видання здійснено за фінансової підтримки громадської
організації „Рада батьків Черкащини”
УДК 51(07) Розповсюдження та тиражування
Рекомендовано до друку рішенням без офіційного дозволу ЧДБК
методичної ради Черкаського заборонено
державного бізнес-коледжу
Протокол № 3 від 31 березня 2010 р.
Укладач: Кацімон О.В.
Вища математика
Збірник задач. ІІ частина
Черкаси, 2010 – 85 с.
Рецензент: Григоренко Василь Костянтинович, завідувач кафедри математичного аналізу, кандидат фізико-математичних наук, доцент Черкаського національного університету ім. Б. Хмельницького
Збірник містить задачі з таких розділів вищої математики: вступ до математичного аналізу, диференціальне числення функції однієї змінної, інтегральне числення функції однієї змінної, диференціальне числення функції багатьох змінних, диференціальні рівняння, ряди.
До збірника входить теоретичний матеріал, задачі і вправи з відповідями для самостійної роботи студентів.
Розраховано на студентів денної форми навчання вищих навчальних закладів I-II рівнів акредитації.
Затверджено на засіданні циклової комісії
фундаментальних дисциплін
Протокол № 8 від 02 березня 2010 року. © О. В. Кацімон, 2010
Зміст
Глава 3. Вступ до математичного аналізу 6
§3.1 Числова послідовність. Границя послідовності 6
§3.2 Функція. Границя функції.Теореми про границі.
Неперервність функції 7
Глава 4. Диференціальне числення функції однієї змінної 16
§4.1 Означення похідної. Рівняння дотичної.
Рівняння нормалі 16
§4.2. Правила обчислення похідних. Похідна показникової, логарифмічної, тригонометричної, складеної функції 18
§4.3 Монотонність функції. Локальний екстремум функції. Найбільше і найменше значеня функції 21
§4.4. Опуклість і вгнутість кривих. Точки перегину. Асимптоти кривої. Дослідження функції та побудова її графіка 23
Глава 5. Інтегральне числення функції однієї змінної 26
§5.1 Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування невизначеного інтеграла 26
§5.2 Визначений інтеграл. Методи обчислення визначених інтегралів 30
§5.3 Деякі застосування визначеного інтеграла: обчислення площ плоских фігур 36
Глава 6. Диференціальне числення функцій багатьох змінних 38
§6.1 Означення функції багатьох змінних. Частинні похідні функцій багатьох змінних 38
§6.2 Повний диференціал функції багатьох змінних та його застосування 43
Глава 7. Диференціальні рівняння 46
§7.1 Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші. Загальний і частинний розв’язок диференціального рівняння першого порядку 46
§7.2 Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку 49
§7.3 Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Найпростіші диференціальні рівняння другого порядку 52
§7.4 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами 55
Глава 8. Ряди 59
§8.1 Числові ряди. Найпростіші властивості числових рядів 59
§8.2 Знакододатні числові ряди. Достатні ознаки збіжності 61
§8.3 Степеневі ряди. Теорема Абеля. Інтервал та радіус збіжності степеневого ряду 63
§8.4 Ряд Тейлора. Розкладання елементарних функцій у ряд Маклорена 65
§8.5 Ряди Фур’є 68
Відповіді 72
Список рекомендованої літератури 82
Вступ
Математика - одна з найдавніших наук, що зародилась на світанку цивілізації. Вона постійно збагачується, час від часу оновлюється і все більше утверджується як засіб пізнання закономірностей навколишнього світу. Розширюючи і зміцнюючи свої багатогранні зв'язки з практикою, математика допомагає людству відкривати і використовувати закони природи і є у наш час могутнім рушієм розвитку науки і техніки.
Математика, як і інші науки, відображає закони матеріального світу, служить людині засобом пізнання і підкорення природи. Всі поняття і висновки математики виходять з дійсності і широко застосовуються в економічних науках.
Збірник задач написаний автором на основі власного досвіду читання лекцій і проведення практичних занять з вищої математики в Черкаському державному бізнес-коледжі. Друга частина збірника є логічним продовженням попереднього збірника „Вища математика. Збірник задач”, та містить наступні теми: вступ до математичного аналізу, диференціальне числення функції однієї змінної, інтегральне числення функції однієї змінної, диференціальне числення функції багатьох змінних, диференціальні рівняння, ряди і є продовженням збірника задач з вищої математики, в який входять два розділи: елементи лінійної алгебри, елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії.
Збірник містить теоретичний матеріал по кожній темі, задачі і вправи для самостійного виконання, відповіді до який наведені в кінці збірника.
Збірник може використовуватись для аудиторної та самостійної роботи.
Розрахований на студентів вищих навчальних закладів I—II рівнів акредитації, що вивчають елементи математичного аналізу.
Глава 3. Вступ до математичного аналізу
§3.1 Числова послідовність. Границя послідовності
Якщо кожному натуральному числу за певним правилом ставиться у відповідність число , то множину чисел
називають числовою послідовністю (або коротко послідовністю) і позначають символом , де - члени або елементи послідовності, - загальний член послідовності.
Число є границею послідовності, якщо для довільного числа , існує такий номер , що при всіх виконується нерівність
Якщо є границею послідовності , то пишуть
I.Довести:
1. ;
2. .
II.1. Дано . Яким повинно бути , що б число було менше
а) 0,01;
б) 0,1.
2. Дано . Яким повинно бути , щоб число було менше а) 0,1; б) 0,001.
.
III. Знайти границі:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. .
IV. Написати перших п’ять членів послідовності:
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6. .
V. Написати формулу загального члена послідовності.
1. ; 2. ;
3. ; 4. ;
5. ; 6.
§3.2 Функція. Границя функції. Теореми про границі. Неперервність функції.
3.2.1 Функція. Найпростіші властивості функції
Якщо кожному числу з деякої множини за деяким
правилом поставлене у відповідність єдине число , то є функцією від і позначається
Змінна є незалежною змінною, або аргументом, а змінна - залежною змінною, або функцією.
Множина значень аргументу , для яких функція має дійсний зміст, є областю визначення цієї функції.
Множина всіх чисел , таких, що для кожного , є множиною значень функції.
Функція є парною, якщо , і непарною, якщо ,.
Функція , яка визначена на всій числовій прямій, є періодичною, якщо . Число називається періодом функції. Найменше з доданих чисел є основним періодом функції.
Якщо функція визначена на множині і для двох довільних різних значень і аргументу з цієї множини при умові , маємо:
1) , то функція є зростаючою;
2) , то функція є спадною;
3) , то функція є неспадною;
4) , то функція є незростаючою.
Зростаючі, незростаючі, спадні й неспадні функції на множині називаються монотонними на цій множині.
Функція , яка визначена на множині , є необмеженою на множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .
Якщо для функцій і , які визначені на множині , існує таке число , що для всіх виконується нерівність або , то є обмеженою зверху, а - обмеженою знизу функцією.
Якщо рівняння , яке не розв’язане відносно , визначає як функцію , то є неявною функцією .
Функція є оберненою до функції , якщо:
-
областю визначення функції є множина значень функції ;
-
множина значень функції є областю визначення функції ;
-
кожному значенню змінної відповідає єдине значення змінної .
Функція , , має обернену функцію тоді і тільки тоді, коли вона є строго монотонною в області .
Задання функціональної залежності між і у вигляді двох функцій , однієї незалежної змінної , які визначені на одному й тому самому проміжку, є параметричним заданням функцій; змінна при цьому називається параметром.
Якщо функція має обернену , то змінну можна розглядати як складену функцію від :.