Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Растяжение-сжатие.docx
Скачиваний:
67
Добавлен:
03.12.2018
Размер:
2.21 Mб
Скачать

Главная Лекция 2 (продолжение). Примеры решения на осевое растяжение – сжатие и задачи для самостоятельного решения

Расчет статически определимых брусьев на растяжение-сжатие

Пример 1.

Круглая колонна диаметра d сжимается силой F. Определить увеличение диаметра , зная модуль упругости Е и коэффициент Пуассона материала колонны.

Р е ш е н и е

Продольная деформация по закону Гука равна

.

Используя закон Пуассона, находим поперечную деформацию

.

С другой стороны, .

Следовательно, .

Пример 2.

Построить эпюры продольной силы, напряжения и перемещения для ступенчатого бруса.

Р е ш е н и е.

1. Определение опорной реакции. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z:

, -2qa + 2q×2a- q×a + qa-RE = 0,

откуда RE = 2qa.

2. Построение эпюр Nz, , W.

Э п ю р а Nz. Она строится по формуле

.

Имеем NB = -2qa, NC = NB + 2q×2a = 2qa

NDC = NC - q×a = qa, NDE = NDC + qa = 2qa.

Э п ю р а . Напряжение равно . Как следует из этой формулы, скачки на эпюре будут обусловлены не только скачками Nz, но также резкими изменениями площади поперечных сечений. Определяем значения в характерных точках:

= NB/(2A) = -2qa/(2A) = -qa/A,

= NC/(2A) = 2qa/(2A) = qa/A;

= NC/(4A) = 2qa/(4A) = qa/(2A),

= NDC/(4A) = qa/(4A),

= NDE/A = 2qa/A и строим эпюру .

Э п ю р а W. Она строится по формуле

.

Построение ведем от защемления к свободному концу. Находим перемещения в характерных сечениях: Wo = WE = 0,

WD = Wo + /E = (2qa/EAa = 2qa2/(EA),

WC = WD + /E = 2qa2/EA + (1/2)(1/2 + 1/4)×(qa/EAa = (19/8)qa2/EA,

Wmax = WC + /E = (19/8)qa2/EA + (1/2) )(qa/EAa = (23/8)qa2/EA,

WB = WC + /E = WC = (19/8)qa2/EA и строим эпюру W.

Пример 3.

Для стержня, изображенного на рисунке, построить эпюру нормальной силы и определить удлинение стержня, если F1 = 100 кН, F2 = 50 кН, q = 40 кН/м, а = 1 м, b = 2 м, с = 1,5 м, Е = 2×105 МПа, S = 0,2 м2.

Решение.

1. Разбиваем брус на участки АВ, ВС, CD

2. Определяем значение нормальной силы на каждом участке

CD

CB

при z2=1,5 м, N2=-100 кН,

при z2=3,5 м, N2=-20 кН,

кН

1) Строим эпюру нормальной силы

2) Определяем удлинение стержня

Пример 4.

Построить эпюру для колонны переменного сечения (рис. а). Длины участков 2 м. Нагрузки: сосредоточенные =40 кН, =60 кН, =50 кН; распределенная =20 кН/м.

Решение:

Пользуемся методом сечений. Рассматриваем (поочередно) равновесие отсеченной (верхней) части колонны (рис. в).

Из уравнения для отсеченной части стержня в произвольном сечении участка продольная сила

(),

при =0 кН;

при =2 м кН,

в сечениях участков имеем соответственно:

кН,

кН,

кН,

Итак, в четырех сечениях продольные силы отрицательны, что указывает на деформацию сжатия (укорочения) всех участков колонны. По результатам вычислений строим эпюру продольных сил (рис. б), соблюдая масштаб. Из анализа эпюры следует, что на участках, свободных от нагрузок, продольная сила постоянна, на нагруженных – переменна, в точках приложения сосредоточенных сил – изменяется скачкообразно.

Пример 5.

Решение:

1. Определяем вид деформации стержня. Все силы лежат на оси стержня, значит, имеем осевое растяжение-сжатие, будем строить эпюру продольных сил N.

2. Проводим ось, параллельную оси стержня.

3. Разбиваем стержень на два участка. В качестве участка загружения будем понимать часть стержня между двумя ближайшими точками приложения сил. Отметим, что изменение площади поперечного сечения не влияет на определение границ участков.

4. Делаем сечения в начале и конце первого участка загружения и определяем N. В сечении 1 (рис. б) N1 = F1 = 6кН; в сечении 2 (рис. в) N2 = F1 = 6кН. Знак определяем по правилу: N1, N2 > 0, так как сила F1 растягивает продольные волокна. Откладываем значения N1, N2, например, выше оси (строгого правила для продольной силы не существует) и соединяем прямой линией. Внутри ставим в кружочке знак «+» (рис. е). Переходим ко второму участку. В сечении 3 (рис. г) N3 = F1F2 = 6 – 10 = - 4кН; в сечении 4 (рис. д) N4 = F1F2 = 6 – 10 = - 4 кН. Поскольку N3, N4 < 0. откладываем полученные значения ниже оси и внутри эпюры ставим в кружочке знак «-». Числовые значения N1 N4 обязательно проставляем на эпюре (рис. е).

5. Эпюру штрихуем и обозначаем.

6. Эпюру проверяем. Так как к стержню не приложены распределенные нагрузки, на эпюре не образуются наклонные прямые. В сечении (1) приложена сила F1 = 6 кН на эпюре в этом сечении скачок равный 6; на границе первого и второго участков приложена сила F2 =10 кН на эпюре имеем скачок на величину 6 + 4 =10; скачок, равный 4 в сечении (4) соответствует реакции в заделке, которую мы заранее не определяли. Эпюра построена верно.

Пример 6.

Решение:

1. Вид деформации – осевое растяжение-сжатие, строим эпюру N.

2. Проводим вертикальную ось, параллельную оси стержня.

3. Имеем один участок загружения.

4. Делаем сечение в начале и конце участка. В целях упрощения решения задачи оставшиеся после отбрасывания жесткой заделки части стержня, изображать не станем. Будем эту процедуру проделывать мысленно. Для наглядности можно просто закрывать отброшенную часть стержня листом бумаги. Имеем N1 = 0; кН.

5. Откладываем N1, N2 от оси, например, вправо и соединяем прямой линией (см. рис.).

6. Ставим знак, штрихуем и обозначаем эпюру.

7. Проверка эпюры: так как на стержень действует равномерно-распределенная нагрузка, на графике должна быть наклонная прямая. Сосредоточенных сил нет, поэтому нет и скачков (скачок в заделке соответствует реакции в заделке).

Пример 7.

Решение:

1. Вид деформации – осевое растяжение-сжатие.

2. Проводим вертикальную ось.

3. Делим на участки загружения – в данном примере будет два участка.

4. Делаем сечения на первом участке: N1 = -F= -8 кН; N2 = -F = -8 кН. Откладываем значения, например, влево от оси, соединяем прямой линией. Делаем сечение на втором участке кН; кН. Значение N3 < 0, откладываем влево от оси; N4 > 0 – вправо и соединяем прямой.

5. Ставим знаки, штрихуем и обозначаем эпюру (см. рис.).

6. Проверка эпюры: на первом участке нет распределенной нагрузки – на эпюре прямая, параллельная оси; на втором участке распределена нагрузка – на эпюре наклонная прямая. В сечении (1) приложена сосредоточенная сила F = 8 кН на эпюре скачок, равный 8.

Пример 8.

Построить эпюру Nz для стержня, приведенного на рисунке.

Р е ш е н и е.

Стержень нагружен только сосредоточенными осевыми силами, поэтому продольная сила в пределах каждого участка постоянна. На границе участков Nz претерпевает разрывы. Примем направление обхода от свободного конца (сеч. Е) к защемлению (сеч. А). На участке DE продольная сила положительна, так как сила вызывает растяжение, т.е. NED = +F. В сечении D продольная сила меняется скачком от NDE = NED = F до NDС = NDЕ3F = 2F (находим из условия равновесия бесконечно малого элемента dz, выделенного на границе двух смежных участков CD и DE).

Заметим, что скачок равен по величине приложенной силе 3F и направлен в сторону отрицательных значений Nz, так как сила 3F вызывает сжатие. На участке CD имеем NСD = N = 2F. В сечении C продольная сила изменяется скачком от NСD = 2F до NСВ = NСD + 5F = 3F. Величина скачка равна приложенной силе 5F. В пределах участка продольная сила опять постоянна NСВ = NВС =3F. Наконец, в сечении В на эпюре Nz опять скачок: продольная сила меняется от NВС = 3F до NВА = NВС2F = F. Направление скачка вниз (в сторону отрицательных значений), так как сила 2F вызывает сжатие стержня. Эпюра Nz приведена на рисунке.

Пример 9.

Стержень, нагруженный, как показано на рисунке, удерживается в опоре силами трения, равномерно распределенными по ее толщине. Построить эпюру продольной силы.

Р е ш е н и е.

Из условия равновесия стержня в проекции на ось z находим интенсивность сил трения:

, , откуда q = 3F/a.

Эпюру Nz строим по формуле . Согласно этой зависимости на участках АВ и CD продольная сила постоянна, так как погонной нагрузки нет (q = 0). На участке ВС продольная сила изменяется по линейному закону (q = const). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные силы, на эпюре Nz имеют место скачки, равные по величине приложенным силам. Примем направление обхода слева направо. В сечении А сила 2F вызывает сжатие, поэтому NAB = -2F. На участке ВС продольная сила изменяется от NB = NA = -2F до . На участке CD продольная сила постоянна и равна NСD = 4F.

Пример 10.

Стержень, изображенный на рисунке (а), нагружен уравновешенной системой в виде сосредоточенных и распределенных сил. Эпюра продольной силы показана на рисунке (б). Определить значения и направления приложенной к стержню нагрузки.

Р е ш е н и е.

В сечениях 1, 2, 3, 4 на эпюре имеются скачки, что связано с приложенными здесь сосредоточенными силами. Скачку вверх соответствует сила, вызывающая растяжение в рассматриваемом сечении; при скачке вниз сила вызывает сжатие. Величина скачка равна приложенной силе. Будем перемещаться по стержню слева направо. В сечении 1 приложена растягивающая сила F1 = 20 кН, направленная влево. Далее на участке 12 на стержень действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, равной согласно дифференциальной зависимости тангенсу угла наклона прямой, т.е. q12 =(60-20)/2 = 20 кН/м. Погонная нагрузка вызывает растяжение и направлена влево. Приложенная в сечении 2 сила F2 = 100 кН вызывает сжатие и направлена вправо. На участке 23 распределенной нагрузки нет, так как продольная сила постоянна. В сечении 3 приложена растягивающая сила F3 = 80 кН (направлена влево). На участке 34 действует распределенная нагрузка интенсивности q34 = (-40 - 40)/1 = -80 кН/м, вызывающая сжатие и направленная вправо. Наконец, в сечении 4 приложена сила F4 = 40 кН, направленная влево.

Пример 11.

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности. (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)