1 Условие монотонности функции на числовом промежутке

Теорема 1 Необходимое и достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на числовом промежутке

Пусть функция f(х) непрерывна на числовом промежутке Х, тогда, для того, чтобы функция f(х) была невозрастающей (неубувающей) на промежутке Х, необходимо и достаточно, чтобы ()

для всех внутренних точек этого промежутка.

Замечание Аналогично можно доказать условие постоянства функции на числовом промежутке Х, которое заключается в равенстве нулю ее производной для хХ, т.е. .

Теорема 2 Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если функция f(х) непрерывна на числовом промежутке Х и имеет положительную (отрицательную) производную во всех внутренних точках этого промежутка, за исключением конечного числа точек, в которых конечная производная не существует или конечная производная равна нулю, то функция f(х) возрастает (убывает) на промежутке Х.

Доказательство этого утверждения состоит из двух этапов:

1) устанавливается возрастание функции f(х) на каждом из промежутков, на которые делится промежуток Х указанными в теореме точками (где не существует, либо равна нулю);