Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

smdo

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
10.12.2018
Размер:
360.21 Кб
Скачать

1

Зразки розв’язування типових завдань Функції з випадковими параметрами

Нехай f0(t), f1(t), f2(t), ... - звичайні невипадкові функції, а u1, u2, ... - випадкові величини (випадкові параметри), тоді X(t )= f0(t) + u1f1(t) + u2f2 (t) +... - випадкова функція, а при заданих u1, u2... - деяка реалізація ВП.

Набір типових завдань

1)Побудувати область можливих траєкторій ВП (uk розподілені на кінцевих інтервалах).

2)Обчислити й побудувати графік математичного очікування ВП.

3)Обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення, кореляційну функцію ВП.

4)Скласти прогноз x(t2) по заданому x(t1).

Приклад 1. Задано випадковий процес X(t) функцією з випадковими параметрами u1 й

u2:

Відомі числові характеристики випадкових параметрів :

Виконати типові завдання для цього процесу.

1)Область можливих траєкторій

2)Математичне очікування ВП

Зобразимо результати розрахунку на графіку (рис. 1).

3)Обчисливши кореляційний момент параметрів u1 й u2 :

центруємо випадковий процес :

і знайдемо кореляційну функцію ВП:

2

Рисунок 1 Знайдемо дисперсію й середнє квадратичне відхилення ВП :

4)Нехай відомо: X(1) = 4, скласти прогноз для X(2).

Використовуючи рівняння лінійної регресії двовимірної випадкової величини

запишемо рівняння лінійної регресії випадкової величини x(2) на випадкову величину x(1) :

Обчислимо за допомогою цього рівняння прогноз:

3

Процеси розмноження й загибелі

Деяка система (фізична, біологічна, економічна) може перебувати в одному зі станів: E0, E1, E2, ....(індекс - число елементів у системі). У випадкові моменти часу система може робити перехід у сусідній стан. Інтенсивності переходів (середнє число переходів в одиницю часу):

lk - інтенсивність переходів зі стану Ek в Ek+1 (інтенсивність розмноження), νk - інтенсивність переходів зі стану Ek в Ek–1 (інтенсивність загибелі).

Рисунок 2

Ймовірності станів pk(t) задовольняють систему рівнянь

У загальному випадку розв'язання задачі Коші для pk(t) становить серйозну математичну проблему. Для наближеного розв'язання цієї задачі можна застосовувати різні методи, наприклад з використанням рядів Маклорена [5].

Приклад 2. Система перебуває в стані Ek. Задані інтенсивності переходів λm й νm. Оцінити ймовірності станів системи через малий проміжок часу Dt. Малим проміжком часу вважаємо такий, при якому виконується нерівність

Записуємо систему (1) в околиці “k”:

З огляду на малість Dt, вважаємо :

(система не може за малий проміжок часу зробити більше двох переходів). Нескінченна система диференціальних рівнянь прийме усічений кінцевий вигляд:

4

Точне розв'язання навіть усіченої системи (2) у загальному випадку пов'язане з пошуком коренів характеристичного рівняння 5-го ступеня. Тому тільки в окремих випадках можна отримати точну картину поведінки ймовірностей.

Розглянемо алгоритм наближеного розв'язання задачі методом рядів.

1)

Уводимо вектор

, записуємо для нього часткову суму ряду

Маклорена:

 

2)

Використовуючи рівняння (2), знаходимо

і за формулою (3) отримуємо

наближений розподіл ймовірностей через час Dt.

 

Приклад. 3· Дано: p3(0) = 1, νк = 2, λk = k, Dt = 0,1.

Знайти ймовірності станів системи через час Dt. Розв'язання. Обчислимо похідні ймовірностей станів

Враховуючи, що p3(0) = 1, запишемо вектор ймовірностей при t = 0: P(0)= {0; 0; 1; 0; 0}.

Підставляючи його компоненти у формули для похідних, знайдемо: P'(0)={0;2; -5;3;0 } й P''(0)={4; -18 ;35 ; -33 ;12 }.

Тепер є вся інформація для одержання результату по формулі (3):

Відповідь: Ймовірності станів системи через час 0.1 такі:

p1 = 0.02, p2 = 0.11, p3 = 0.675 , p4 = 0.135 , p5 = 0.06.

Процес резервування

Розглядається найпростіша модель резервування без відновлення. Є основний прилад й один або два резервних прилади. При виході з ладу основного приладу він заміняється резервним і так доти, поки всі прилади не вийдуть із ладу. Цей момент означає, що система втратила працездатність. Одне з основних питань теорії резервуваннянадійність систем. Надійність можна оцінити, наприклад, математичним очікуванням часу життя системи (періоду працездатності), ймовірністю працездатності системи в цей момент часу.

Позначимо:

λ1 - інтенсивність відмов основного приладу, а також резервного після моменту заміни ним основного приладу.

λ2 - інтенсивність відмов першого резервного приладу; λ3 - інтенсивність відмов другого резервного приладу; резервний прилад може перебувати:

унавантаженому стані - λk = λ1,

уполегшеному резерві - 0 < λk < λ1,

5

у ненавантаженому стані - λk = 0;

pk(t) - ймовірність того, що в момент часу t у системі є k приладів (функціонуючий прилад плюс резервні прилади).

Розв'язувана система має ланцюговий характер:

Якщо резервний прилад усього один, то система стає простішою:

Вирішивши систему рівнянь, можна знайти основні параметри: 1– p0(t) - ймовірність робочого стану в момент часу t,

- математичне очікування часу життя.

Приклад 4. Резервується відповідальний вузол(пристрій) деякого агрегату, системи. Частота відмов основного пристрою- 2 (за од. часу). Є два резервних пристрої: один в полегшеному резерві, із частотою відмов1 (за од. часу), а друге резервне - у ненавантаженому стані. Після відмови будь-якого із пристроїв один із двох, що залишилися, буде функціонувати як основний, а інший буде в полегшеному резерві. Пристрій, що залишився потім на самоті, функціонує як основний. При виході з ладу й цього пристрою вважається, що даний агрегат припинив своє існування(працездатність). Обчислити середній час функціонування агрегату (до виходу з ладу).

У цьому випадку маємо: λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 0. Запишемо із цими параметрами систему рівнянь (4):

1)З урахуванням початкової умови /

2)Друге рівняння / має резонансну праву частину й часткове розв'язок: /

3)Розв'язавши третє рівняння системи /, отримаємо :

4)Знаходимо ймовірність загибелі агрегату (втрати працездатності):

Примітка. При правильному розв'язанні задачіp0(t) повинне бути монотонно зростаючою функцією. Перевіримо отриманий розв'язок на монотонне зростання:

5) Обчислимо математичне очікування часу виходу з ладу останнього прист (середній час життя досліджуваного об'єкта):

6

Зрівняємо с роботою вузла без резервування:

Резервування збільшило середній час життя в 2,33 рази.

Ланцюга Маркова з дискретним часом

Деяка система може перебувати в одному зі станів: Е1, E2, ...En. У певні моменти часу система може перейти з деякою ймовірністю в інший стан. Відрізки часу між моментами переходів називають зазвичай «кроки»: на першому кроці система перебувала в стані 1Е на другому - у стані Е2 і т.д. Зазвичай позначають:

pi(k) - ймовірність того, що на k-му кроці система перебуває в стані Еi;

pij(k) - ймовірність того, що система, що перебувала на k-му кроці в стані Ei, перейде на наступному кроці в стан Еj.

Якщо ввести вектор станів P(k) = {p1(k), p2(k),…,pn(k)}і матрицю переходу

тo отримаємо рекурентну формулуP(k + 1) = P(k)A(k). Ланцюг Маркова називають однорідною, якщо матриця переходу не залежить від номера кроку k:

A(k) = A, "k .

Зупинимося на однорідних марківських процесах. Має місце теорема Маркова.

Якщо всі елементи матриці А додатні, то існують границі:

Числа називаються граничними або фінішними ймовірностями станів системи. Такий марківський ланцюг єергодичним, тобто ймовірності є граничними значеннями частот станів:

де ni - число спостережень системи в стані Ei за n кроків.

Для пошуку граничних ймовірностей потрібно обчислити власний вектор матриці переходу, що відповідає власному числу 1:

при додатковій умові

.

Типові завдання

1Записати матрицю по графу системи.

2Зобразити граф системи по заданій матриці.

3Знайти граничні ймовірності заданої системи (n ≤ 3). (Обчислити процентне співвідношення часів перебування системи в кожному зі станів).

4По заданому розподілі ймовірностей наk-му кроці системи обчислити розподіл ймовірностей на (k +1) або (k +2) кроці.

5Обчислити математичне очікування марківського процесу із заданою матрицею й

7

числовими значеннями початкових станів.

Приклад 5. Деяка економічна система в стані E1 отримує 2000 грн. прибутку. Наступного дня ця економічна система з ймовірністю 0.3 може перейти в стан E2 й отримати в цьому стані 500 грн. прибутку або залишитися в стані E1. Зі стану E2 з ймовірністю 0.4 система може повернутися в E1 або перейти в стан Е3 з ймовірністю 0.6. Стан Е3 означає для цієї економічної системи 4500 грн. збитків. З Е3 система обов'язково переходить вE1. Всі переходи можливі один раз у добу.

Зобразити граф системи й записати матрицю її переходів. Знайти граничні ймовірності для станів даної системи, обчислити процентне співвідношення часів знаходження системи в кожному зі станів. Обчислити середній добовий прибуток системи.

Розв'язування. Зобразимо граф цієї економічної системи:

Рисунок 3

Запишемо матрицю переходів:

Введемо вектор граничних ймовірностей станів системи: = {u,v,w}. За змістом

граничних ймовірностей запишемо матричне рівняння = A і перетворимо його в скалярну форму:

Сума всіх рядків визначника дорівнює нулю, отже, D = 0 . Одне з рівнянь є наслідком інших. Замінимо перше рівняння на основну властивість ймовірностей повної групи подій:

Вирішимо систему, підставляючи u й w, виражені через v, у перше рівняння системи:

Знайдено граничні ймовірності станів економічної системи:

Обчислимо процентне співвідношення перебувань системи в кожному з можливих станів:

8

Обчислимо математичне очікування прибутку - це й буде середній добовий прибуток:

Висновок: У деякі дні підприємство дістає прибуток, в інші дні зазнає збитків, але в середньому працює рентабельно - за тривалий період часу заробіток складе 905.4 грн./доб.

Ланцюга Маркова з неперервним часом

Деяка система може перебувати в одному зі станів: E1, E2,..,En. У випадкові моменти часу система може переходити в інший стан. Будемо вважати, що моменти переходів утворять найпростіший потік подій. Інтенсивності переходів для всіх пар станів :заданіλij - інтенсивність (число актів в одиницю часу) переходів з i-го в j-ий стан. Ймовірності станів pi(t) знаходять шляхом розв'язання задачі Коші:

Якщо потрібно знайти тільки граничні ймовірності, то можна обійти розв'язання досить громіздкої проблеми Коші. При t ® ¥ ймовірності прагнуть до граничних значень, отже, для більших “t” ймовірності постійні і їхні похідні дорівнюють нулю. Позначивши через iр граничні ймовірності, отримаємо алгебраїчну систему:

З незліченної множини розв'язків однорідної системи вибираємо, длятой якого виконується умова

р1 + р2 +...+pn = 1.

Приклад 6. Деяка економічна система може перебувати в одному зі станів: E1,E2,E3. При цьому стани E1, E2 приносять, відповідно, 2000 й 500 грн./доб. прибутку. А в станіE3 ця економічна система терпить4500 грн./доб. збитків. Інтенсивності переходів між станами такі:

9

E, ® E2 - 0.5 1/доб. ,

E2 ® E, - 0.3 1/доб.,

Eo ® E3 - 0.6 1/доб. ,

E3 ® Eo - 1.0 1/доб.,

E3 ® E1 - 0.4 1/доб.

Перехід E1 ® E3 неможливий.

Зобразити граф системи й записати розв'язувану систему диференціальних рівнянь для ймовірностей станів. Знайти граничні ймовірності для станів даної системи, обчислити процентне співвідношення часів знаходження системи в кожному зі .станівОбчислити середній добовий прибуток системи.

Розв'язування. Зобразимо граф цієї економічної системи.

Рисунок 4

Запишемо систему диференціальних рівнянь:

При правильному складанні рівнянь, сума всіх правих частин системи дорівнює нулю. Для обчислення граничних ймовірностей вважаємо рівними нулю похідні:

Сума всіх рівнянь системи дорівнює нулю, отже, одне з них можна відкинути.

Замінивши перше рівняння системи нормуючою умовою, отримаємо:

10

За формулами Крамера отримаємо розв'язок системи:

Запишемо час відвідування системою кожного зі станів у відсотках:

р1 - 39.76%, р2 - 42.17%, р3 - 18.07% .

Визначимо середній добовий прибуток економічної системи:

Псеред = 2000·0.398 + 500·0.422 - 4500·0.181 = 192.5 (грн./доб.).

Контрольні завдання Функції з випадковими параметрами

Дано: функція X(t) = u1f(t)+u2g(t)+h(t), де u1 й u2 - випадкові величини (випадкові параметри), розподілені, відповідно, на інтервалах [a;b] й [c;d]. Дані для варіантів подані в табл.2,3, де K12 - кореляційний момент параметрів u1 й u2. Функція X(t) описує деякий випадковий процес.

Потрібно:

1)побудувати область можливих траєкторій випадкового процесу;

2)обчислити й побудувати графік математичного очікування випадкового процесу;

3)обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення, кореляційну функцію випадкового процесу;

4)с урахуванням заданих t1 , t2 й X(t1) скласти прогноз X(t2).

Таблиця 2

Вар.

[a;b]

[c;d]

M(u1)

D(u1)

M(u2)

D(u2)

K12

1

[-2;1]

[0;1]

-1

1.5

0.75

0.1

-0.2

2

[-1;1]

[-1;2]

-0.5

0.5

1

1

-0.5

3

[-1;1]

[-1;2]

-0.5

0.5

1

0.75

-0.4

4

[-3;0]

[0;1]

-1

1

0.5

0.2

0.4

5

[-1;0]

[-1;1]

-0.5

0.1

0.5

0.75

-0.2

6

[0;5]

[-2;0]

2

4

-1

1

-1

7

[0;1]

[-4;0]

0.5

0.2

-2

3

0.5

8

[-2;3]

[-1;3]

1

4

1

2

1.5

9

[-1;3]

[-2;2]

1

3

1

2

1

10

[-1;1]

[-3;1]

0.5

0.5

-1

2.5

-1

11

[-2;4]

[-1;1]

1

5

0.5

0.75

1.25

12

[-2;0]

[0;2]

-1

1

1

1

-0.75

13

[0;1]

[0;2]

0.5

0.2

1

1

-0.2

14

[-1;1]

[-2;3]

-0.5

0.5

1

5

-1

15

[-1;1]

[-2;1]

0.5

0.5

-1

1

-0.5

16

[-1;1]

[-1;1]

0.5

0.5

-0.5

0.5

-0.2

17

[-1;0]

[0;1]

-0.5

0.2

0.5

0.2

0.1

18

[0;1]

[0;1]

0.5

0.2

0.5

0.2

0.15

19

[-1;1]

[0;1]

0.5

0.5

0.5

0.2

0.2

20

[-1;1]

[0;2]

-0.5

0.5

1

0.5

-0.4

21

[-2;3]

[0;1]

1

3

0.5

0.2

0.5

22

[-1;1]

[-1;0]

0.5

0.5

-0.5

0.2

0.2

23

[-1;1]

[-2;1]

0.5

0.5

-1

0.5

-0.25

24

[-1;1]

[-1;2]

-0.5

0.5

1

1

-0.5

25

[0;1]

[-1;0]

0.5

0.2

-0.5

0.1

0.1

Соседние файлы в предмете Стохастические методы исследования операций