smdo
.pdf1
Зразки розв’язування типових завдань Функції з випадковими параметрами
Нехай f0(t), f1(t), f2(t), ... - звичайні невипадкові функції, а u1, u2, ... - випадкові величини (випадкові параметри), тоді X(t )= f0(t) + u1f1(t) + u2f2 (t) +... - випадкова функція, а при заданих u1, u2... - деяка реалізація ВП.
Набір типових завдань
1)Побудувати область можливих траєкторій ВП (uk розподілені на кінцевих інтервалах).
2)Обчислити й побудувати графік математичного очікування ВП.
3)Обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення, кореляційну функцію ВП.
4)Скласти прогноз x(t2) по заданому x(t1).
Приклад 1. Задано випадковий процес X(t) функцією з випадковими параметрами u1 й
u2:
Відомі числові характеристики випадкових параметрів :
Виконати типові завдання для цього процесу.
1)Область можливих траєкторій
2)Математичне очікування ВП
Зобразимо результати розрахунку на графіку (рис. 1).
3)Обчисливши кореляційний момент параметрів u1 й u2 :
центруємо випадковий процес :
і знайдемо кореляційну функцію ВП:
2
Рисунок 1 Знайдемо дисперсію й середнє квадратичне відхилення ВП :
4)Нехай відомо: X(1) = 4, скласти прогноз для X(2).
Використовуючи рівняння лінійної регресії двовимірної випадкової величини
запишемо рівняння лінійної регресії випадкової величини x(2) на випадкову величину x(1) :
Обчислимо за допомогою цього рівняння прогноз:
3
Процеси розмноження й загибелі
Деяка система (фізична, біологічна, економічна) може перебувати в одному зі станів: E0, E1, E2, ....(індекс - число елементів у системі). У випадкові моменти часу система може робити перехід у сусідній стан. Інтенсивності переходів (середнє число переходів в одиницю часу):
lk - інтенсивність переходів зі стану Ek в Ek+1 (інтенсивність розмноження), νk - інтенсивність переходів зі стану Ek в Ek–1 (інтенсивність загибелі).
Рисунок 2
Ймовірності станів pk(t) задовольняють систему рівнянь
У загальному випадку розв'язання задачі Коші для pk(t) становить серйозну математичну проблему. Для наближеного розв'язання цієї задачі можна застосовувати різні методи, наприклад з використанням рядів Маклорена [5].
Приклад 2. Система перебуває в стані Ek. Задані інтенсивності переходів λm й νm. Оцінити ймовірності станів системи через малий проміжок часу Dt. Малим проміжком часу вважаємо такий, при якому виконується нерівність
Записуємо систему (1) в околиці “k”:
З огляду на малість Dt, вважаємо :
(система не може за малий проміжок часу зробити більше двох переходів). Нескінченна система диференціальних рівнянь прийме усічений кінцевий вигляд:
4
Точне розв'язання навіть усіченої системи (2) у загальному випадку пов'язане з пошуком коренів характеристичного рівняння 5-го ступеня. Тому тільки в окремих випадках можна отримати точну картину поведінки ймовірностей.
Розглянемо алгоритм наближеного розв'язання задачі методом рядів.
1) |
Уводимо вектор |
, записуємо для нього часткову суму ряду |
Маклорена: |
|
|
2) |
Використовуючи рівняння (2), знаходимо |
і за формулою (3) отримуємо |
наближений розподіл ймовірностей через час Dt. |
|
Приклад. 3· Дано: p3(0) = 1, νк = 2, λk = k, Dt = 0,1.
Знайти ймовірності станів системи через час Dt. Розв'язання. Обчислимо похідні ймовірностей станів
Враховуючи, що p3(0) = 1, запишемо вектор ймовірностей при t = 0: P(0)= {0; 0; 1; 0; 0}.
Підставляючи його компоненти у формули для похідних, знайдемо: P'(0)={0;2; -5;3;0 } й P''(0)={4; -18 ;35 ; -33 ;12 }.
Тепер є вся інформація для одержання результату по формулі (3):
Відповідь: Ймовірності станів системи через час 0.1 такі:
p1 = 0.02, p2 = 0.11, p3 = 0.675 , p4 = 0.135 , p5 = 0.06.
Процес резервування
Розглядається найпростіша модель резервування без відновлення. Є основний прилад й один або два резервних прилади. При виході з ладу основного приладу він заміняється резервним і так доти, поки всі прилади не вийдуть із ладу. Цей момент означає, що система втратила працездатність. Одне з основних питань теорії резервуваннянадійність систем. Надійність можна оцінити, наприклад, математичним очікуванням часу життя системи (періоду працездатності), ймовірністю працездатності системи в цей момент часу.
Позначимо:
λ1 - інтенсивність відмов основного приладу, а також резервного після моменту заміни ним основного приладу.
λ2 - інтенсивність відмов першого резервного приладу; λ3 - інтенсивність відмов другого резервного приладу; резервний прилад може перебувати:
унавантаженому стані - λk = λ1,
уполегшеному резерві - 0 < λk < λ1,
5
у ненавантаженому стані - λk = 0;
pk(t) - ймовірність того, що в момент часу t у системі є k приладів (функціонуючий прилад плюс резервні прилади).
Розв'язувана система має ланцюговий характер:
Якщо резервний прилад усього один, то система стає простішою:
Вирішивши систему рівнянь, можна знайти основні параметри: 1– p0(t) - ймовірність робочого стану в момент часу t,
- математичне очікування часу життя.
Приклад 4. Резервується відповідальний вузол(пристрій) деякого агрегату, системи. Частота відмов основного пристрою- 2 (за од. часу). Є два резервних пристрої: один в полегшеному резерві, із частотою відмов1 (за од. часу), а друге резервне - у ненавантаженому стані. Після відмови будь-якого із пристроїв один із двох, що залишилися, буде функціонувати як основний, а інший буде в полегшеному резерві. Пристрій, що залишився потім на самоті, функціонує як основний. При виході з ладу й цього пристрою вважається, що даний агрегат припинив своє існування(працездатність). Обчислити середній час функціонування агрегату (до виходу з ладу).
У цьому випадку маємо: λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 0. Запишемо із цими параметрами систему рівнянь (4):
1)З урахуванням початкової умови /
2)Друге рівняння / має резонансну праву частину й часткове розв'язок: /
3)Розв'язавши третє рівняння системи /, отримаємо :
4)Знаходимо ймовірність загибелі агрегату (втрати працездатності):
Примітка. При правильному розв'язанні задачіp0(t) повинне бути монотонно зростаючою функцією. Перевіримо отриманий розв'язок на монотонне зростання:
5) Обчислимо математичне очікування часу виходу з ладу останнього прист (середній час життя досліджуваного об'єкта):
6
Зрівняємо с роботою вузла без резервування:
Резервування збільшило середній час життя в 2,33 рази.
Ланцюга Маркова з дискретним часом
Деяка система може перебувати в одному зі станів: Е1, E2, ...En. У певні моменти часу система може перейти з деякою ймовірністю в інший стан. Відрізки часу між моментами переходів називають зазвичай «кроки»: на першому кроці система перебувала в стані 1Е на другому - у стані Е2 і т.д. Зазвичай позначають:
pi(k) - ймовірність того, що на k-му кроці система перебуває в стані Еi;
pij(k) - ймовірність того, що система, що перебувала на k-му кроці в стані Ei, перейде на наступному кроці в стан Еj.
Якщо ввести вектор станів P(k) = {p1(k), p2(k),…,pn(k)}і матрицю переходу
тo отримаємо рекурентну формулуP(k + 1) = P(k)A(k). Ланцюг Маркова називають однорідною, якщо матриця переходу не залежить від номера кроку k:
A(k) = A, "k .
Зупинимося на однорідних марківських процесах. Має місце теорема Маркова.
Якщо всі елементи матриці А додатні, то існують границі:
Числа називаються граничними або фінішними ймовірностями станів системи. Такий марківський ланцюг єергодичним, тобто ймовірності є граничними значеннями частот станів:
де ni - число спостережень системи в стані Ei за n кроків.
Для пошуку граничних ймовірностей потрібно обчислити власний вектор матриці переходу, що відповідає власному числу 1:
при додатковій умові
.
Типові завдання
1Записати матрицю по графу системи.
2Зобразити граф системи по заданій матриці.
3Знайти граничні ймовірності заданої системи (n ≤ 3). (Обчислити процентне співвідношення часів перебування системи в кожному зі станів).
4По заданому розподілі ймовірностей наk-му кроці системи обчислити розподіл ймовірностей на (k +1) або (k +2) кроці.
5Обчислити математичне очікування марківського процесу із заданою матрицею й
7
числовими значеннями початкових станів.
Приклад 5. Деяка економічна система в стані E1 отримує 2000 грн. прибутку. Наступного дня ця економічна система з ймовірністю 0.3 може перейти в стан E2 й отримати в цьому стані 500 грн. прибутку або залишитися в стані E1. Зі стану E2 з ймовірністю 0.4 система може повернутися в E1 або перейти в стан Е3 з ймовірністю 0.6. Стан Е3 означає для цієї економічної системи 4500 грн. збитків. З Е3 система обов'язково переходить вE1. Всі переходи можливі один раз у добу.
Зобразити граф системи й записати матрицю її переходів. Знайти граничні ймовірності для станів даної системи, обчислити процентне співвідношення часів знаходження системи в кожному зі станів. Обчислити середній добовий прибуток системи.
Розв'язування. Зобразимо граф цієї економічної системи:
Рисунок 3
Запишемо матрицю переходів:
Введемо вектор граничних ймовірностей станів системи: = {u,v,w}. За змістом
граничних ймовірностей запишемо матричне рівняння = A і перетворимо його в скалярну форму:
Сума всіх рядків визначника дорівнює нулю, отже, D = 0 . Одне з рівнянь є наслідком інших. Замінимо перше рівняння на основну властивість ймовірностей повної групи подій:
Вирішимо систему, підставляючи u й w, виражені через v, у перше рівняння системи:
Знайдено граничні ймовірності станів економічної системи:
Обчислимо процентне співвідношення перебувань системи в кожному з можливих станів:
8
Обчислимо математичне очікування прибутку - це й буде середній добовий прибуток:
Висновок: У деякі дні підприємство дістає прибуток, в інші дні зазнає збитків, але в середньому працює рентабельно - за тривалий період часу заробіток складе 905.4 грн./доб.
Ланцюга Маркова з неперервним часом
Деяка система може перебувати в одному зі станів: E1, E2,..,En. У випадкові моменти часу система може переходити в інший стан. Будемо вважати, що моменти переходів утворять найпростіший потік подій. Інтенсивності переходів для всіх пар станів :заданіλij - інтенсивність (число актів в одиницю часу) переходів з i-го в j-ий стан. Ймовірності станів pi(t) знаходять шляхом розв'язання задачі Коші:
Якщо потрібно знайти тільки граничні ймовірності, то можна обійти розв'язання досить громіздкої проблеми Коші. При t ® ¥ ймовірності прагнуть до граничних значень, отже, для більших “t” ймовірності постійні і їхні похідні дорівнюють нулю. Позначивши через iр граничні ймовірності, отримаємо алгебраїчну систему:
З незліченної множини розв'язків однорідної системи вибираємо, длятой якого виконується умова
р1 + р2 +...+pn = 1.
Приклад 6. Деяка економічна система може перебувати в одному зі станів: E1,E2,E3. При цьому стани E1, E2 приносять, відповідно, 2000 й 500 грн./доб. прибутку. А в станіE3 ця економічна система терпить4500 грн./доб. збитків. Інтенсивності переходів між станами такі:
9
E, ® E2 - 0.5 1/доб. , |
E2 ® E, - 0.3 1/доб., |
Eo ® E3 - 0.6 1/доб. , |
E3 ® Eo - 1.0 1/доб., |
E3 ® E1 - 0.4 1/доб. |
Перехід E1 ® E3 неможливий. |
Зобразити граф системи й записати розв'язувану систему диференціальних рівнянь для ймовірностей станів. Знайти граничні ймовірності для станів даної системи, обчислити процентне співвідношення часів знаходження системи в кожному зі .станівОбчислити середній добовий прибуток системи.
Розв'язування. Зобразимо граф цієї економічної системи.
Рисунок 4
Запишемо систему диференціальних рівнянь:
При правильному складанні рівнянь, сума всіх правих частин системи дорівнює нулю. Для обчислення граничних ймовірностей вважаємо рівними нулю похідні:
Сума всіх рівнянь системи дорівнює нулю, отже, одне з них можна відкинути.
Замінивши перше рівняння системи нормуючою умовою, отримаємо:
10
За формулами Крамера отримаємо розв'язок системи:
Запишемо час відвідування системою кожного зі станів у відсотках:
р1 - 39.76%, р2 - 42.17%, р3 - 18.07% .
Визначимо середній добовий прибуток економічної системи:
Псеред = 2000·0.398 + 500·0.422 - 4500·0.181 = 192.5 (грн./доб.).
Контрольні завдання Функції з випадковими параметрами
Дано: функція X(t) = u1f(t)+u2g(t)+h(t), де u1 й u2 - випадкові величини (випадкові параметри), розподілені, відповідно, на інтервалах [a;b] й [c;d]. Дані для варіантів подані в табл.2,3, де K12 - кореляційний момент параметрів u1 й u2. Функція X(t) описує деякий випадковий процес.
Потрібно:
1)побудувати область можливих траєкторій випадкового процесу;
2)обчислити й побудувати графік математичного очікування випадкового процесу;
3)обчислити дисперсію, середнє квадратичне відхилення, кореляційну функцію випадкового процесу;
4)с урахуванням заданих t1 , t2 й X(t1) скласти прогноз X(t2).
Таблиця 2
Вар. |
[a;b] |
[c;d] |
M(u1) |
D(u1) |
M(u2) |
D(u2) |
K12 |
1 |
[-2;1] |
[0;1] |
-1 |
1.5 |
0.75 |
0.1 |
-0.2 |
2 |
[-1;1] |
[-1;2] |
-0.5 |
0.5 |
1 |
1 |
-0.5 |
3 |
[-1;1] |
[-1;2] |
-0.5 |
0.5 |
1 |
0.75 |
-0.4 |
4 |
[-3;0] |
[0;1] |
-1 |
1 |
0.5 |
0.2 |
0.4 |
5 |
[-1;0] |
[-1;1] |
-0.5 |
0.1 |
0.5 |
0.75 |
-0.2 |
6 |
[0;5] |
[-2;0] |
2 |
4 |
-1 |
1 |
-1 |
7 |
[0;1] |
[-4;0] |
0.5 |
0.2 |
-2 |
3 |
0.5 |
8 |
[-2;3] |
[-1;3] |
1 |
4 |
1 |
2 |
1.5 |
9 |
[-1;3] |
[-2;2] |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
10 |
[-1;1] |
[-3;1] |
0.5 |
0.5 |
-1 |
2.5 |
-1 |
11 |
[-2;4] |
[-1;1] |
1 |
5 |
0.5 |
0.75 |
1.25 |
12 |
[-2;0] |
[0;2] |
-1 |
1 |
1 |
1 |
-0.75 |
13 |
[0;1] |
[0;2] |
0.5 |
0.2 |
1 |
1 |
-0.2 |
14 |
[-1;1] |
[-2;3] |
-0.5 |
0.5 |
1 |
5 |
-1 |
15 |
[-1;1] |
[-2;1] |
0.5 |
0.5 |
-1 |
1 |
-0.5 |
16 |
[-1;1] |
[-1;1] |
0.5 |
0.5 |
-0.5 |
0.5 |
-0.2 |
17 |
[-1;0] |
[0;1] |
-0.5 |
0.2 |
0.5 |
0.2 |
0.1 |
18 |
[0;1] |
[0;1] |
0.5 |
0.2 |
0.5 |
0.2 |
0.15 |
19 |
[-1;1] |
[0;1] |
0.5 |
0.5 |
0.5 |
0.2 |
0.2 |
20 |
[-1;1] |
[0;2] |
-0.5 |
0.5 |
1 |
0.5 |
-0.4 |
21 |
[-2;3] |
[0;1] |
1 |
3 |
0.5 |
0.2 |
0.5 |
22 |
[-1;1] |
[-1;0] |
0.5 |
0.5 |
-0.5 |
0.2 |
0.2 |
23 |
[-1;1] |
[-2;1] |
0.5 |
0.5 |
-1 |
0.5 |
-0.25 |
24 |
[-1;1] |
[-1;2] |
-0.5 |
0.5 |
1 |
1 |
-0.5 |
25 |
[0;1] |
[-1;0] |
0.5 |
0.2 |
-0.5 |
0.1 |
0.1 |