m_MonteCarlo_examples

Приклад (модель простої черги)

Час між приходом клієнтів у перукарню є випадковою величиною, що змінюється за експонентним законом з математичним очікуванням 12 хвилин. У перукарні працює один майстер, що виконує два види стрижки: звичайну чоловічу, котра займає близько 10 хвилин, і кваліфіковану, котра займає близько 15 хвилин. У середньому один з чотирьох клієнтів замовляє звичайну стрижку, хоча усе відбувається випадково. Потрібно визначити такі параметри роботи перукарні.

1. Середню зайнятість перукаря.

2. Середню кількість клієнтів, що очікують.

3. Середній час чекання клієнта в черзі.

Логіку роботи імітаційної моделі можна описати в термінах подій, зв'язаних із прибуттям і відходом клієнтів, у такий спосіб.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта

1. Згенерувати і зберегти час події, пов'язаної з прибуттям наступного клієнта (= поточний час моделювання + проміжок часу між приходами клієнтів).

2. Якщо засіб обслуговування (перукар) вільний

a) почати обслуговування клієнта, що надійшов, змінити стан системи на робочий і скорегувати дані використання системи;

b) згенерувати і зберегти хронологічно час події, зв'язаної з відходом клієнта (= поточний час моделювання + час обслуговування).

3. Якщо засіб обслуговування зайнятий, поставити клієнта, що надійшов, у чергу і збільшити її довжину на одиницю.

Подія, пов’язана з відходом клієнта (закінчення обслуговування)

1. Якщо черга порожня, оголосити систему вільною. Скорегувати дані використання системи.

2. Якщо черга не є порожньою

a) почати обслуговування першого в черзі клієнта. Зменшити довжину черги на одиницю і скорегувати дані використання системи;

b) згенерувати і зберегти хронологічно час події, зв'язаної з відходом клієнта (= поточний час моделювання + час обслуговування).

У розглянутому прикладі час між приходом клієнтів змінюється по експонентному закону з математичним очікуванням 12 хвилин, а час обслуговування є дискретним (10 хвилин з імовірністю 0.25 чи 15 хвилин з імовірністю 0.75). Позначимо через р и q випадкові значення часу між прибуттям клієнтів і обслуговуванням відповідно. Використовуючи результати розділу 1.4.2, одержуємо

хвилин, 0  R  1,

У цьому прикладі використовуємо випадкові числа R з табл. 1.1, починаючи з першого стовпця. Позначимо через Т час моделювання (час спостереження над моделлю). Припустимо також, що перший клієнт приходить у момент часу Т = 0 і засіб обслуговування вільний.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта в момент Т = 0 (клієнт 1). Другий клієнт прибуде в момент часу T = 0 +p₁, де p₁ = –10 ln(0.0589) = 28.3 хвилини.

Оскільки при T = 0 система вільна, негайно починається обслуговування першого клієнта. Відповідний час обслуговування обчислюється з використанням рівномірно розподіленого випадкового числа R = 0.6733, що дає q₁ = 15 хвилин. Це значить, що перший клієнт піде з перукарні в момент часу Т = 0+15 = 15. Час приходу другого клієнта і час відходу першого (T=28.3 і T =15) породжують наступний хронологічний перелік майбутніх подій.

1. Відхід у T = 15.

2. Прихід у T =28.3.

Отже, найближчою є подія, пов'язана з відходом клієнта в момент часу T = 15.

Подія, пов’язана з відходом клієнта в момент Т =15 (клієнт 1). Оскільки черга порожня, засіб обслуговування стає вільним. У той же час фіксуємо, що система була зайнята від моменту часу T = 0 до T = 15. Маємо наступний скоректований перелік майбутніх подій (у даному випадку є тільки одна подія).

1. Прихід другого клієнта в T = 28.3.

Отже, наступним в хронологічному порядку є подія, пов'язана з приходом клієнта в момент часу Т = 28.3.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта в момент Т = 28.3 (клієнт 2). Третій клієнт прибуде через p₂ = -10 ln(0.4799) = 7.34 хвилини, тобто в момент часу T = 28.3 + 7.34 = 35.64. Оскільки засіб обслуговування вільний, починається обслуговування другого клієнта і система оголошується зайнятою. При R = 0,9486 відповідний час обслуговування дорівнює q₂ = 15 хвилин. Отже, другий клієнт залишить систему в момент часу T = 28.3 + 15 = 43.3. Список майбутніх подій змінюється в такий спосіб.

1. Прихід у T = 35.64.

2. Відхід у T = 43.3.

Наступним подією в хронологічному порядку є прихід клієнта в момент часу T  = 35.64.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта в момент Т=35.64 (клієнт 3).

Клієнт 4 прибуде в момент часу Т = 35.64 + [–10 ln(0.6139)] = 40.52.

Оскільки система в цей час зайнята (вона зайнята до Т = 43.3), третій клієнт розміщується в чергу в момент T = 35.64. Відкоректований список майбутніх подій приймає наступний вигляд.

1. Прихід у Т = 40.52.

2. Відхід у Т = 43.3.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта в момент Т = 40.52 (клієнт 4).

Клієнт 5 прибуде в момент часу Т = 40.52 + [–10 1n(0.5933)] = 45.74.

Оскільки система в цей час усе ще зайнята (вона зайнята до Т = 43.3), четвертий клієнт розміщується другим у чергу в момент часу Т = 40.52. Відкоректований список майбутніх подій приймає наступний вигляд.

1. Відхід у Т = 43.3.

2. Прихід у T = 45.74.

Подія, пов’язана з відходом клієнта в момент Т = 43.3 (клієнт 2). Перший клієнт у черзі (третій клієнт) починає обслуговуватися. При R = 0.9341 відповідна подія, пов’язана з його відходом, відбудеться в момент часу T = 43.3+15 = 58.3.

Система в цей час усе ще залишається зайнятою, довжина черги зменшується на одиницю в момент Т = 43.3. Відкоректований список майбутніх подій приймає такий вигляд.

1. Прихід у T = 45.74.

2. Відхід у T = 58.3.

Подія, пов’язана з прибуттям клієнта в момент Т=45.74 (клієнт 5).

Клієнт 6 прибуде в момент часу T = 45.74 + [–10 ln(0.1782)] = 62.99. П'ятий клієнт розміщується останнім у чергу в момент Т = 45.74. Описані обчислення демонструють усі можливості, що закладені в логіку функціонування імітаційної моделі. Тут ми припиняємо обчислення і покажемо, як обчислюються необхідні характеристики розглянутої моделі.

Припустимо, що імітація системи виконується до моменту часу T = 50 хвилин. На рис. 1 показані зміни довжини черги і використання сервісу (зайнятість системи) як функції часу імітації.

Довжина черги і зайнятість системи (тобто перукаря) є змінними, залежними від часу. Тому їхні середні значення обчислюються в такий спосіб.

.

Застосовуючи цю формулу для даних, показаних на мал. 1.7, одержуємо

Середня довжина черги = 21.4/50 = 0.428 клієнта,

Середня зайнятість системи = 36.7/50 = 0.734.

Середній час чекання в черзі є змінною, залежною від кількості подій, що сталися, і її значення обчислюється за формулою

.

З мал. 1.7 видно, що площа під кривою довжини черги в дійсності дорівнює сумі часів чекання трьох клієнтів, що формували чергу. Саме перший клієнт, що очікує, (клієнт 3) знаходився в черзі з моменту Т = 35.64 до Т = 43.3, другий (клієнт 4) був відправлений у чергу в момент часу T = 40.52 і залишався в ній до кінця часу імітації (T = 50), третій клієнт, що очікує, (клієнт 5) надійшов у чергу в момент часу Т = 45.74 і також залишався в ній у момент T =50. Отже, сума часів чекання трьох клієнтів дорівнює (43.3 - 35.64) + (50 - 40.52) + (50 - 45.74) = 21.4 хвилини, що дорівнює площі під кривою довжини черги.

Середній час чекання в черзі дорівнює 21.4/3 = 7.13 хвилини. Ця величина має відношення лише до тих клієнтів, що очікували в черзі. Середній час чекання для всіх клієнтів (= 5), незалежно від того, очікували вони в черзі чи ні, обчислюється так: 21.4/5 = 4.28 хвилини.