8

№

Структурная схема

W1(P)

W2(P)

W3(P)

W4(P)

W5(P)

W6(P)

вар.

k3

11

k1

k 2

k4

k5

k6 e P

T1P 1

T P 1

P

P

2

12

k e P

k2

k 3

k4

k5

k 6

T P 1

1

P

1

P

13

k1 e P

k2

k 3

k4

k5

k6 e P

T P 1

T P 1

1

1

P

14

k1

k 2

k3

k

e P

k5

k6

T1P 1

4

T P 1

P

P

2

15

k e P

k2

k 3

k4

k5

k 6

T P 1

T P 1

1

1

P

2

16

k1

k2

k 3

k

e P

k5

k

e P

T P 1

4

6

1

P

17

k e P

k2

k3

k 4

k5

k6 e P

1

P

T1P 1

P

18

k1

k

k 3

k4

k5

k6 e P

T P 1

2

T P 1

1

P

2

k

k

3

e P

k

4

k 5

k6

19

1

k 2

T2 P 1

P

P

20

k e P

k2

k3

k4

k 5

k6

T P 1

T P 1

1

1

P

1

P

61

3.6. Частотные характеристики звеньев и систем

Передаточная функция системы имеет вид

W (P) 10P1 1.

Заменяем в W(P) оператор Р на iω и проводим необходимые преобразования:

	W (i )	1		.
		10i 1

Умножаем числитель и знаменатель W(iω) на комплексное сопряженное число знаменателю:

	1 1 10i			1 10i
W (i )					.
	10i 1 1 10i
				102 2 1

Выделяем вещественную и мнимую составляющие:

Re( )	1		; Im( )	10	.
	100 2 1
				100 2 1

Находим АЧХ и ФЧХ:

A( ) Re2( ) Im2( )										1			2						10			2
											2									2
					100							1							100		1
	1 100 2	1
										,
	1 100 2 2		1 100 2
		Im( )								10
	( ) arctg			arctg						100 2 1							arctg(10 ).
		Re( )								1
								100 2 1

Задаваясь рядом значений частоты (ω = 0; 0,001…0,1), находятся значения ВЧХ и МЧХ. Строится АФЧХ в координатах (Im, Re).

Задание на работу Дано: дифференциальное уравнение системы (согласно заданному

варианту из разд. 3.2). Требуется:

а) найти передаточную функцию; б) определить частотные характеристики системы АЧХ, ФЧХ,

ВЧХ, МЧХ;

62

в) на миллиметровой бумаге построить график АФЧХ для 15 значений частот.

В отчете представить:

1)задание для практической работы и вариант задания.

2)порядок выполняемых действий с комментариями.

3)результаты по выполнению пунктов а, б, в.

3.7.Исследование устойчивости систем автоматического управления

спомощью критериев Рауса и Гурвица

Алгебраические критерии Рауса и Гурвица представляют собой алгебраические неравенства, связывающие между собой коэффициенты характеристического уравнения системы:

an Pn an 1Pn 1 ... a1P a0 0

В дальнейшем будем полагать, что коэффициент an>0. Если это не так, то умножением на -1 характеристическое уравнение приводится к нужной форме.

Пример 1 Определить, устойчива ли система с характеристическим уравне-

нием

0,8P7 5,5P6 15P5 25P4 28P3 17P2 6P 1 0 .

Составляем таблицу Рауса:

			r				Номер		Номер столбца
							строки	1	2	3	4
							–	0,8	15	28	6
							–	5,5	25	17	1
r1			0, 8		0,145		1	c11 = 15–0,145·25 =	c12 = 28–0,145·17 =	c13 = 6–0,145·1 =	0
		5, 5						=11,4	25,5	5,85
r2		5, 5				0, 482	2	c21 = 25–0,482·25,5 =	c22 = 17–0,482·5,85 =	c23= 1	0
		11, 4						=12,7	=14,2
r3		11, 4				0, 898	3	c31 = 25,5–0,898·14,2=	c32 = 5,85-0,898·1 =	c33= 0	0
		12, 7						= 12,8	= 4,96
r4		12, 7				0, 992	4	c41 =14,2–0,992·4,96=	c42 = 1	0	0
		12, 8						= 9,28
r5			12, 8			1, 38	5	c51 = 4,97-1,38·1 =	c52 = 0	0	0
		9, 28						= 3,59
r6			9, 28			2, 58	6	с61 = 1	0	0	0
		3, 59

63

Все элементы первого столбца положительны и все корни характеристического уравнения поэтому левые. Система устойчива.

Пример 2 Проверить на устойчивость систему с характеристическим уравне-

нием

							25P4 28P3 17P2 6P 1 0 .
Составляем определитель Гурвица
				28	6	0	0
	4			25	17	1	0
				0	28	6	0
				0	25	17	1

Вычисляем определители Гурвица:

1 28; 2 28 17 6 25 326; 3 28·17·6 + 6·1·0 + 0·25·28– –0·17·0 – 6·25·6 – 28·1·28 = 1172; 4 3 a0 1172 1 1172

Все определители Гурвица положительны. Система устойчива.

Задание на работу Дано:

а) характеристическое уравнение системы № 1

a7 P7 a6 P6 a5P5 a4 P4 a3P3 a2 P2 a1P a0 0 ;

б) характеристическое уравнение системы № 2

a4 P4 a3P3 a2 P2 a1P a0 0 .

Требуется исследовать: систему № 1 на устойчивость с помощью критерия Рауса, систему № 2 с помощью критерия Гурвица.

	Номер		Значение коэффициентов системы № 1, системы № 2
	варианта	a7	a6	a5	a4	a3	a2	a1	a0
	1	8	7	6	5	4	3	2	1
		–	–	–	3	4	5	2	1
	2	5	8	1	4	11	9	6	1
		–	–	–	6	3	9	2	1
	3	1	2	3	4	5	6	7	8
		–	–	–	10	5	3	10	2
	4	7	15	7	4	6	3	8	2
		–	–	–	8	6	3	4	1
	5	20	40	76	76	42	22	16	5
		–	–	–	76	42	41	44	2
	6	42	56	80	88	46	28	24	8
		–	–	–	65	84	98	38	1
					64

	7	55	95	90	16	56	41	44	3
		–	–	–	5	93	21	8	1
	8	12	10	4	6	1	5	2	1
		–	–	–	6	8	2	7	2
	9	65	26	98	37	64	5	6	5
		–	–	–	34	2	42	5	3
	10	3	1	2	6	8	4	8	1
		–	–	–	4	8	2	5	7
	11	6	5	6	5	2	7	6	1
		–	–	–	4	8	5	1	1
	12	5	7	1	4	6	1	4	1
		–	–	–	4	6	2	1	2
	13	6	7	2	9	8	3	8	8
		–	–	–	9	8	7	6	5
	14	5	5	2	5	5	9	2	3
		–	–	–	7	3	5	4	1
	15	8	9	1	3	1	4	2	2
		–	–	–	2	3	8	9	6
	16	4	5	2	5	6	9	2	1
		–	–	–	6	7	0,5	1	1
	17	10	9	8	1	4	7	9	1
		–	–	–	1	5	6	7	8
	18	1	2	3	4	5	6	7	1
		–	–	–	4	5	6	7	1
	19	2	2	6	7	2	6	6	9
		–	–	–	7	2	5	4	1
	20	4	3	4	3	8	4	2	8
		–	–	–	9	7	2	8	3

В отчете представить:

1)задание для практической работы и вариант задания;

2)порядок исследования систем на устойчивость;

3)промежуточные и окончательные результаты исследования.

3.8.Исследование устойчивости систем автоматического управления

спомощью критерия Михайлова

Оценить с помощью критерия Михайлова устойчивость системы с характеристическим уравнением

P3 0.5P2 P 2 0 .

Записываем уравнение кривой Михайлова:

65

M(i ) (i )3 0,5 (i )2 i 2 i 3 0,5 2 i 2 2 0,5 2 i ( 3)

Выделяем вещественную и мнимую части годографа:

Re( ) 2 0,5 2 ; Im( ) 3 .

Задаваясь рядом значений ω, строится годограф Михайлова.

Рис. 3.3. Годограф Михайлова

Анализ рисунка показывает, что нарушена последовательность прохождения годографом квадрантов. Система неустойчива.

Задание на работу Дано: характеристическое уравнение замкнутой системы.

Требуется исследовать систему на устойчивость систему с помощью критерия Михайлова.

Номер		Характеристическое уравнение замкнутой системы
варианта
1	0,17P3 0,8P2 1,9P 1,1 0
2	P3 20P2 800P 1250 0
3	0.05P3	5P2	3.2P 1 0
4	124P3 84P2		14P 1 0
5	0,05P3	0,5P2 2P 12 0
6	0,06P3	0,66P2 1,6P 1 0
7	P3 2P2 3P 4 0
8	4P3 3P2 2P 1 0
9	8P3 4P2 2P 1 0
			66

105P3 50P2 650P 1250 0

110,2P3 0,005P2 P 25 0

121,05P3 3,8P2 4,3P 1.5 0

1320P3 9P2 3P 1 0

1410P3 7P2 3P 1 0

15100P3 25P2 5P 1 0

163P3 18P2 9P 1 0

1725P3 15P2 10P 5 0

1825P3 5P2 1P 5 0

199P3 3P2 2P 1 0

2040P3 20P2 10P 2 0

В отчете представить:

1)задание для практической работы и вариант задания;

2)порядок исследования системы на устойчивость;

3)Промежуточные и окончательные результаты исследования.

3.9.Параметрический синтез линейных систем регулирования корневым методом (РАФЧХ)

Требуется определить параметры настройки П, И и ПИрегуляторов с учетом минимизации первого интегрального критерия качества работы системы регулирования для объекта с передаточной

функцией

W (P) K e P

с требованием к

запасу

устойчивости

об

T P 1

Ψ = 0,75.

Определяем РАФЧХ объекта:

W (m,i )

K e ( m i )

K em e i

об

T ( m i ) 1

(1 T m) i T

K em

cos

i sin

1 T m

i T

(1

T m )2 T 2 2

K em 1 T m cos

T sin

(1 T

m )2 T 2 2

K em 1

T m sin T cos

i

.

(1 T m )2 T 2 2

Для удобства расчета частотных характеристик введем обозначе-

ния:

67

A1 1 T m ; A2 T ; A0 A12 A22 ; A3 A1 K / A0 ; A4 A2 K / A0 ;

A5 em .

Тогда выражения для составляющих РАФЧХ будут выглядеть компактней:

Re

об

(m, ) A

A

cos

A sin

;

5

3

4

Im

об

(m, ) A

A

cos( ) A

sin

;

5

4

3

Aоб2 (m, ) Reоб2 (m, ) Imоб2 (m, ) .

При известной величине m = 0,221 (см. таблицу соответствия оценок запаса устойчивости) задается начальное значение частоты ω = 0 и шаг по частоте ω = 0,01 с-1. Необходимые вычисления ведутся по расчетным формулам для ПИ-регулятора с учетом выражений для расширенных частотных характеристик объекта. Результаты расчетов сводятся в таблицу, по данным которой строится график зависимости Кр/Ти от Кр (рис. 3.4). Точки на графике определяют параметры настройки регуляторов:

1.пересечение с осью Кр – П-регулятор;

2.пересечение с осью Кр/Ти – И-регулятор;

3.максимум отношения Кр/Ти – ПИ-регулятор.

K p

Ти

K p

Рис. 3.4. Граница заданного запаса устойчивости

Задание на работу Дано: Передаточная функция объекта регулирования и его пара-

метры, требование к запасу устойчивости системы.

Требуется определить параметры настройки П, И и ПИрегуляторов в одноконтурной системе регулирования.

Wоб(P) K e P – передаточная функция объекта.

T P 1

68

Номер	К	Т, с	τ, с	Ψ
варианта
1	1	20	2	0,75
2	2	40	5	0,8
3	3	60	7	0,85
4	4	80	9	0,9
5	5	100	11	0,95
6	1	30	13	0,998
7	2	60	15	0,75
8	3	90	17	0,8
9	4	120	19	0,85
10	5	50	5	0,9
11	1	100	10	0,95
12	2	150	15	0,998
13	3	40	20	0,75
14	4	80	25	0,8
15	5	120	30	0,85
16	1	160	10	0,9
17	2	20	8	0,95
18	3	40	6	0,998
19	4	60	12	0,75
20	5	80	16	0,8

В отчете представить:

1)задание для практической работы и вариант задания;

2)порядок и результаты расчетов;

3)график границы заданного запаса устойчивости на миллиметровой бумаге;

4)найденные параметры настройки регуляторов.

3.10.Разработка структурных схем систем автоматического регулирования

При разработке проекта системы автоматизации решается ряд задач и в первую очередь решается вопрос выбора структуры системы управления. Структура системы управления – это совокупность составляющих автоматизированной системы, на которые ее можно разделить по определенным признакам, а также каналы передачи воздействия между ними. Графическое изображение структуры называется структурной схемой.

69

Выбор структуры управления объектом автоматизации оказывает существенное влияние на эффективность ее работы, надежность системы управления и т.д.

На рис. 3.5 представлена структурная схема системы автоматизации в общем виде.

Рис. 3.5. Общий вид структурной схемы

Система автоматизации включает в себя объект управления и саму систему управления этим объектом. Требуемый результат функционирования системы, характеризующийся параметрами x1, x2, …, xn, достигается в результате определенного взаимодействия между системой управления и объектом автоматизации. К параметрам x1, x2, …, xn можно отнести параметры, характеризующие ход технологического процесса (температура, давление, расход рабочей среды и т. д.).

Кроме основных параметров (x1, x2, …, xn) работа объекта автоматизации характеризуется рядом вспомогательных параметров, y1, y2, …, yu. К таким параметрам относятся, например, величины, характеризующие работу установок подготовки пара, они также должны контролироваться и регулироваться.

На объект в процессе его функционирования воздействуют возмущения f1, f2, …, fp, которые вызывают отклонения параметров x1, x2, …xn от заданных значений. Информация о действительных значениях x1, x2, …, xn, y1, y2, …, yu поступает в систему управления, где происходит ее сравнение с заданными для них значениями g1, g2, …, gk. В случае их отклонения от заданных, превышающего допустимое значение, система управления формирует воздействие ε1, ε2, …, εm, компенсирующее отклонение выходных параметров в сторону уменьшения отклонения.

70