Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpory_matem_1_semestr.doc
Скачиваний:
2
Добавлен:
19.12.2018
Размер:
2.52 Mб
Скачать

-Матрицей называется таблица чисел,

состоящая из m строк и n столбцов

-Матрицы равны между собой если

равны их соответствующие элементы

А=В если аij=bij где аij bij-эл-ты матриц

-Квадратная матрица у которой все

элементы равны нулю кроме главной

диаконали называется диагональной

-Диагональная матрица у которой

все элементы равны еденицам на-ся

еденичной

-Квадратная матрица называется

треугольной если все элементы

расположенные по одну сторону

диагонали равны нулю

-Матрица содержащая в себе один

столбец или строку называется

вектор столбцом вектор строкой

-Матрица полученная заменой строк

столбцами наз-ся транспонированной

-Минором некоторого элемента aij

определителя n-го порядка наз-ся

определитель (n–1)-го порядка,

полученный из исходного путём

вычёркивания строки и столбца,

на пересечении которых нах-ся

выбранный элемент.

-Алгебраическим дополнением

элемента aij определителя наз-ся

его минор, взятый со знаком «+»,

если сумма i+j чётное число,

и со знаком «-», если эта сумма неч.

-Правило треугольников

Свойства определителей

-Определитель матрицы не изменится

при транспонировании матрицы

-При перестановке двух IIрядов

определитель меняет знак на

противоположный

-Определитель имеющий два

одинаковых ряда равен нулю

-Общий множетель элементов

какоголибо ряда определителя

можно вынести за знак определителя

-Если элементы какого-либо ряда

определителя представляют собой

суммы двух слагаемых то опред.

может быть разложен на сумму

двух соответствующих определителей

-Определитель не изменится если

к элементам одного ряда прибавить

соответствующие элементы II ряда,

умноженные на любое число

-Величина определителя не меняется,

если по всем эл-ам ряда добавить соотв.

эл. др. ряда, умножен. на любое число к

-Величина опред. равна сумме пр-ий

эл. некоторого ряда на их алгебраич. доп.

Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.

 det = = a11 a22 - a12 a21,

=-+

Действия над матрицами

-Операция слож. матриц вводится только

для матриц одинаковых размеров

-Суммой двух матриц А и B называется

матрица С у которой элементы cij=aij+bij

-ТАкжеопределяется разность матриц

-Произведение матрицы на число наз-ся

матрица В у которой элементы bij=k*aij

-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.

матрице А.Разность матриц А-Вможно

определить как А-В=А+(-В)

-Операция умнож двух матриц вводится

только тогда когда число столбц первой

матрицы равно числу строк второй

матрицы m*n умножить на n*p равно

матрицы m*p.

-Умножение производиться следующим

образом эл. iой строки и kго столбца

матрицы произведения матрицы С равен

сумме произведений элементов iй

строки матрицы А на соответствующие

элементы kго столбца матрицы В

-Операции сложения и умножения

  1. А+В=В+А

  2. А+(В+С)=(А+В)+С

  3. А+0=А

  4. А-А=0

  5. 1*А=А

  6. k*(A+B)=kA+kB

  7. (k+c)*A=k*A+c*A

  8. k*(c*A)=(k*c)*A

9. A*(B*C)=(A*B)*C

10. A*(B+C)=A*B+A*C

11. (A+B)*C=A*C+B*C

-Произведением матрицы А на матрицу

В наз-ся матрица С у которой элемент

i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий

элементов i-строки матрицы А на

соот. элементы k-столбца матрицы В

-Матрица А- наз-ся обратной матрице А

если их пр-ие дает единичн. Матр

если detA><0, то невырожденная

если detA=0, то вырожденная

Матрица имеющая обратную

матрицу называется обратимой.

Т. Если квадратная матрица А

имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С –

две матрицы обратные к матрице А.

Тогда  и

 

-Рангом матрицы наз-ся наибольший

из порядков миноров отличных от нуля,

Ранг канонической матрицы равен числу

единиц стоящих на ее диагонали, Ранг

матрицы равен максимальному числу

линейно независимых строк матрицы А.

-При трансп. матр. ранг не меняется

-Если вычеркнуть из матрицы нулевой

столбец, то ранг матрицы не изменится

-Ранг матрицы не изменится при

элементарных преобразованиях

-Эквивалентными матрицами наз-ся

матрицы, когда одна матрица получена

из другой с помощью элементарных

преобразований матрицы ни яв-ся

равными, но их ранги равны

-Т: Для того чтобы матрица А имела

обратную необходимо и достаточно,

чтобы ее опред. был отличен от нуля

Базисный минор матрицы A

любой ненулевой минор матрицы A

порядка r, где r=rangA.

-Т Крамера система из m уравнений

и n неизвестных в случае, когда

определитель этой системы

отличен от нуля имеет решение и

только одно это решение находится

по формулам Х=deti/det для всех i

где det-определитель системы

deti-определитель матрицы полученной

заменой i-го столбца столбцом

свободных членов.

-Т о базисном миноре:

Всякий столбец матрицы есть

линейная комбинация ее базисных

столбцов сами базисные столбцы

линейно независимы (верно для строк).

-Метод Гауса (метод последовательного

исключения неизвестных) если число

базисных элементов соответствует

числу строк то у системы единственное

решение если число строк больше

числа базисных элементов то у

системы множество решений

-Однородная система – система

уравнений когда свободный член

равен нулю и система неоднородна

в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0

или в матричном виде АХ=0. Любая

однородная система имеет одно

решение и совместна

-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных

ур-ий совместна тогда и только тогда

когда ранг расширенной матрицы равен

рангу системы (необходимо достаточно)

-Вектором называется направленный

отрезок.

-Векторы называются коллинеарными,

если они параллельны одной прямой

-Векторы называются компланарными,

если они параллельны одной плоскости.

-Длиной или модулем вектора называется

длина соотв. направленного отрезка

- a + b = c,

-Вектор b называется противоположным

вектору a, если a и b коллинеарные,

имеют противоположные направления и

Вектор, противоположный вектору

a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.

- а-в=а+(-в)

-Пр-ием вектора a на вещественное

число называется вектор b,

определяемый условием

1) и, если , то еще двумя усл:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направл одинаково,

если , и противопол, если .         

Произведение вектора a на число

обозначается (рис 1.4).

-свойства: 1) а+в=в+а 2) (а+в)+с=а+(в+с) 3)а+0=а; 4)а=(-а)=0; 5) 6) 7) 8)1*а=а.

-свойства линейной зависимости

1Если среди векторов есть нулевой

2если част векторов л.з. один из

векторов равен линейной

комбинации других

3векторы коллинеарны/компланарны

4любые 4 вектора всегда л.з.

5если часть векторов л.з.

-Базис. Множество векторов на прямой

назовем одномерным векторным

пространством, множество векторов

на плоскости -- двумерным векторным

пространством, в пространстве –

трехмерным векторным пространством.  

Базисом векторного пространства L

будем называть упорядоченную

систему векторов пространства,

состоящую: из одного ненулевого

вектора, если пространство одномерное;

из двух неколлинеарных векторов, если

пространство двумерное; из трех

некомпланарных векторов, если

пространство трехмерное.

Число векторов в базисе равно

размерности пространства.

Координатами вектора a в

базисе называются

коэффициенты разложения вектора

a по векторам базиса.         

Для указания, что вектор a имеет

координаты , мы

будем использовать

запись .

Очевидно, что в фиксированном базисе

каждый вектор имеет, единственный,

набор координат. Сложение векторов

и умножение их на число связаны с

аналогичными действиями с их

координатами.

-Т о единственности разложения

Любой вектор можно разложить

по базису и это разложение

единственно т.к. три вектора

базиса л.н.з. если добавить 4 вектор

то все четыре вектора л.з.

-Декартов базис- тройка упорядо-

ченных взаимно перпендик. векторов

единичной длины (i, j, k)

-Если  и  взаимно перпендик.

и их модули равны единице, то базис

называется ортонормированным

-, ,

;

-Проекцией точки A на ось l называется

число, соответствующее основанию

перпендикуляра AB, опущенного

на ось lиз точки A.         

-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся

разность проекций конца вектора и

его начала.         

Проекцию будем обозначать

-.

-Скалярным произведением векторов

a и b называется число, равное

где  -- угол между векторами a и b.         

-1) , 2) , 3) ; 4) при ; 5) ; 6) Если  -- угол между векторами

a и b, то ; 7) , если ; 8) тогда и только тогда,

когда векторы a и b ортогональны.

- Векторное произведение 2х векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз.

правоориентированной (правой), если с

конца 3го вектора с кратчайший поворот от

1го ко 2му вектору мы будем видеть против

час. стрелки. Если кратчайший поворот от

1го ко 2му по час. стрелки - левая.

Векторным произведением 2х векторов а и

в наз. такой вектор с, который удовлетворяет

условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3.

тройка а,в,с-правая.

Уравнение линии и поверхности.

1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое

место точек, равноудаленных от 1ой точки,

называемой центром.

O(a,b,c)

|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы.

x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0).

F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю,

удовлетворяющему координатам x,y,z

любой точки, лежащей на поверхности.

2. Уравнение окружности

|OM|=r, OM={x-a,y-b)

r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности

а=b=0, то x2+y2=r2

F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.

Плоскость в пространстве.

Ур-е в плоскости, проходящей через данную

точку, перпендикулярно заданному вектору.

N-вектор нормали

M0M{x-x0,y-y0,z-z0}

Для того, чтобы точка MP, необходимо и

достаточно чтобы вектора NM0M

(т.е. N*M0M=0)

A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости,

проходящей через данную точку вектору.

Общее уравнение плоскости.

Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0

-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz

Ax+By+Сz+D=0

Частный случай:

Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)

Если A=0, то By+Сz+D=0

Если B=0, то Ax +Сz+D=0

Если C=0, то Ax+By+D=0

Если A=B=0, то Сz+D=0

Если A=C=0, то By+D=0

Если A=D=0, то By+Сz=0

Если B=D=0, то Ay+Сz=0

Взаимное расположение плоскостей.

N1,N2-нормальные векторы плоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

PQ{A1,B1,C1}

QN2{A2,B2,C2}

1)Пусть PQ<=>N1N2

A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендик/ PQ.

2) Пусть PQ<=> N1N2

A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие II 2х плоскостей.

A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- совпадения 2х плоск.

12. Канонич Ур-ие прямой в пространстве.

M0M{x-x0,y-y0,z-z0}

Чтобы точка Мпрямой(или лежала на ней)

необх. и достаточно, чтобы M0M||S

13. Уравнение прямой в пространстве,

проходящей ч/з 2 заданные точки.

l m n

S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}

прямая, как пересечение плоскостей.

Нахождение начальной

точки и направляющего вектора прямой.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0

Общее ур-е прямой в пространстве.

Для того, чтобы перейти от общего к

каноническому ур-ю прямой, надо задать

начальную точку и направляющий вектор:

1. Найдем начальную точку:

Z=0

M0(x0,y0,0), т.к. Z=0

2. Найдем направляющий вектор S-?

PN1{A1,B1,C1}

QN1{A2,B2,C2}

S=N1*N2

16. Взаимное расположение прямой на

плоскости.

P:A1x+B1y+C1z+D1=0N1{A1,B1}

Q:A2x+B2y+C2z+D2=0N2{A2,B2}

а)

то

б)

pq<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2

в)

p||q<=> N1N2, то A1A2+B1B2=0

17. Общее ур-е прямой линии на

плоскости. Его частные случаи.

Сначала запишем ур-е прямой, проходящей

через заданную точку  заданному вектору.

M0(x0,y0)

M0M{x-x0,y-y0}

n*M0M=0

A(x-x0)+B(y-y0)=0

Ax+By-Ax0-By0=0

-Ax0-By0=C

Ax+By+C=0-общее уравнение прямой

Каноническое ур-е прямой линии на плоск.

Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки.

Ур-е с угловым коэффициентом.

y-y1=k1(x-x1)

y=k1x-k1x1+y1

y1-k1x1=b

y=k1x+b

ур-е прямой с угловым коэффициентом k.

Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),

M2(x2,y2) и x1x2, y1y2.

Для составления Ур-ия

прямой М1М2 запишем

уравнения пучка прямых, проходящих

через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на

данной прямой, то чтобы выделить ее из

пучка, подставим координаты точки М2 в

уравнение пучка

М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:

Теперь вид искомой

прямой имеет вид:

или:

- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2

Угол м/ду прямыми на плоскости.

Условия || и.

а)

S1{l1,m1} S2{l2,m2},

или

p:y=k1x+b1, k1=tg1

q:y=k2x+b2, k2=tg2 =>tg=tg(2-1)=

=(tg2-tg1)/(1+ tg1tg2)=

=(k2-k1)/(1+k1k2).

б) p||q, tg=0, k1=k2

в)pq,то

Расстояние от точки до прямой на

плоскости и до плоскости в пространстве.

1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)

2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0

Кривые линии 2-го порядка.

Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1

в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2

г) ур-е сферы: x2+y2+z22 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)

д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1

Парабола и ее свойства.

Множество точек плоскости, координаты

которых по отношению к системе

декартовых координат удовлетворяет

уравнению y=ax2, где х и у - текущие

координаты, а- нек. число, наз. параболой.

Если вершина нах.

в О(0,0), то ур-е примет вид

y2=2px-симметрично отн. оси ОХ

х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ

Точка F(p/2,0) наз. фокусом

параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.

Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе,

расстояние до фокуса = r=p/2

Св-ва:

1. парабола предст. собой  точек плоскости,

равноотстающих от фокус и от директрисы y=ax2.

Эллипс и его св-ва:

Кривая второго порядка наз. эллипсом если

коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки

Аx2+Cy2=

ур.-е

наз. канонич. ур.-ем

эллипса,

где При а=в

представляет собой ур-е окружности х2+y22

Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.

Отношение =с/а наз. его эксцентриситетом

(0<=<=1)

Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.

Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой

точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.

Гипербола и ее св-ва.

Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии

Ax2+Cy2=, коэффициент А и С имеют

противоположные знаки, т.е. А*С<0

б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы

примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) –

фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.

Св-во: для любой точки гиперб абсолютная величина

разности ее расстояний до фокусов есть

величина постоянная = 2а.

б) если =0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0,

получаем 2 перекрестные прямые

х/ау/b=0

в) если <0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е

сопряженной гиперболы.

Понятие о поверхностях 2го порядка.

Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз.

ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+y+F=0,

где A,B,C,D,,F - действительные числа

Линии, которые в системе декартовых

координат определяются алгебраическим

ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.

Опред/ пределов последовательности

и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]