- •12. Канонич Ур-ие прямой в пространстве.
- •13. Уравнение прямой в пространстве,
- •16. Взаимное расположение прямой на
- •17. Общее ур-е прямой линии на
- •1Ой переменной.
- •1Й, 2й замечательный пределы.
- •32. Основные приемы нахождения пределов.
- •42. Дифференцирование обратной ф-ции.
- •1Й переменной.
- •53. Необходимые и достаточные признаки
- •1Й переменной.
-Матрицей называется таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов
-Матрицы равны между собой если
равны их соответствующие элементы
А=В если аij=bij где аij bij-эл-ты матриц
-Квадратная матрица у которой все
элементы равны нулю кроме главной
диаконали называется диагональной
-Диагональная матрица у которой
все элементы равны еденицам на-ся
еденичной
-Квадратная матрица называется
треугольной если все элементы
расположенные по одну сторону
диагонали равны нулю
-Матрица содержащая в себе один
столбец или строку называется
вектор столбцом вектор строкой
-Матрица полученная заменой строк
столбцами наз-ся транспонированной
-Минором некоторого элемента aij
определителя n-го порядка наз-ся
определитель (n–1)-го порядка,
полученный из исходного путём
вычёркивания строки и столбца,
на пересечении которых нах-ся
выбранный элемент.
-Алгебраическим дополнением
элемента aij определителя наз-ся
его минор, взятый со знаком «+»,
если сумма i+j чётное число,
и со знаком «-», если эта сумма неч.
-Правило треугольников
Свойства определителей
-Определитель матрицы не изменится
при транспонировании матрицы
-При перестановке двух IIрядов
определитель меняет знак на
противоположный
-Определитель имеющий два
одинаковых ряда равен нулю
-Общий множетель элементов
какоголибо ряда определителя
можно вынести за знак определителя
-Если элементы какого-либо ряда
определителя представляют собой
суммы двух слагаемых то опред.
может быть разложен на сумму
двух соответствующих определителей
-Определитель не изменится если
к элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы II ряда,
умноженные на любое число
-Величина определителя не меняется,
если по всем эл-ам ряда добавить соотв.
эл. др. ряда, умножен. на любое число к
-Величина опред. равна сумме пр-ий
эл. некоторого ряда на их алгебраич. доп.
Вычисл. опред. разложением по 1-ой стр.
det = = a11 a22 - a12 a21,
=-+
Действия над матрицами
-Операция слож. матриц вводится только
для матриц одинаковых размеров
-Суммой двух матриц А и B называется
матрица С у которой элементы cij=aij+bij
-ТАкжеопределяется разность матриц
-Произведение матрицы на число наз-ся
матрица В у которой элементы bij=k*aij
-Матрица–А=(-1)А наз-ся противополож.
матрице А.Разность матриц А-Вможно
определить как А-В=А+(-В)
-Операция умнож двух матриц вводится
только тогда когда число столбц первой
матрицы равно числу строк второй
матрицы m*n умножить на n*p равно
матрицы m*p.
-Умножение производиться следующим
образом эл. iой строки и kго столбца
матрицы произведения матрицы С равен
сумме произведений элементов iй
строки матрицы А на соответствующие
элементы kго столбца матрицы В
-Операции сложения и умножения
-
А+В=В+А
-
А+(В+С)=(А+В)+С
-
А+0=А
-
А-А=0
-
1*А=А
-
k*(A+B)=kA+kB
-
(k+c)*A=k*A+c*A
-
k*(c*A)=(k*c)*A
9. A*(B*C)=(A*B)*C
10. A*(B+C)=A*B+A*C
11. (A+B)*C=A*C+B*C
-Произведением матрицы А на матрицу
В наз-ся матрица С у которой элемент
i-строки и k-столбца равен сумме пр-ий
элементов i-строки матрицы А на
соот. элементы k-столбца матрицы В
-Матрица А- наз-ся обратной матрице А
если их пр-ие дает единичн. Матр
если detA><0, то невырожденная
если detA=0, то вырожденная
Матрица имеющая обратную
матрицу называется обратимой.
Т. Если квадратная матрица А
имеет обратную, то она единственная.
Доказательство. Пусть В и С –
две матрицы обратные к матрице А.
Тогда и
-Рангом матрицы наз-ся наибольший
из порядков миноров отличных от нуля,
Ранг канонической матрицы равен числу
единиц стоящих на ее диагонали, Ранг
матрицы равен максимальному числу
линейно независимых строк матрицы А.
-При трансп. матр. ранг не меняется
-Если вычеркнуть из матрицы нулевой
столбец, то ранг матрицы не изменится
-Ранг матрицы не изменится при
элементарных преобразованиях
-Эквивалентными матрицами наз-ся
матрицы, когда одна матрица получена
из другой с помощью элементарных
преобразований матрицы ни яв-ся
равными, но их ранги равны
-Т: Для того чтобы матрица А имела
обратную необходимо и достаточно,
чтобы ее опред. был отличен от нуля
Базисный минор матрицы A
любой ненулевой минор матрицы A
порядка r, где r=rangA.
-Т Крамера система из m уравнений
и n неизвестных в случае, когда
определитель этой системы
отличен от нуля имеет решение и
только одно это решение находится
по формулам Х=deti/det для всех i
где det-определитель системы
deti-определитель матрицы полученной
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.
-Т о базисном миноре:
Всякий столбец матрицы есть
линейная комбинация ее базисных
столбцов сами базисные столбцы
линейно независимы (верно для строк).
-Метод Гауса (метод последовательного
исключения неизвестных) если число
базисных элементов соответствует
числу строк то у системы единственное
решение если число строк больше
числа базисных элементов то у
системы множество решений
-Однородная система – система
уравнений когда свободный член
равен нулю и система неоднородна
в противн случае aj1X1,…+…, ajnXn=0
или в матричном виде АХ=0. Любая
однородная система имеет одно
решение и совместна
-Т Кронекера-Копелы: сист. линейных
ур-ий совместна тогда и только тогда
когда ранг расширенной матрицы равен
рангу системы (необходимо достаточно)
-Вектором называется направленный
отрезок.
-Векторы называются коллинеарными,
если они параллельны одной прямой
-Векторы называются компланарными,
если они параллельны одной плоскости.
-Длиной или модулем вектора называется
длина соотв. направленного отрезка
- a + b = c,
-Вектор b называется противоположным
вектору a, если a и b коллинеарные,
имеют противоположные направления и
Вектор, противоположный вектору
a, обозначается -а, то есть АВ=_ВА.
- а-в=а+(-в)
-Пр-ием вектора a на вещественное
число называется вектор b,
определяемый условием
1) и, если , то еще двумя усл:
2) вектор b коллинеарен вектору a;
3) векторы b и a направл одинаково,
если , и противопол, если .
Произведение вектора a на число
обозначается (рис 1.4).
-свойства: 1) а+в=в+а 2) (а+в)+с=а+(в+с) 3)а+0=а; 4)а=(-а)=0; 5) 6) 7) 8)1*а=а.
-свойства линейной зависимости
1Если среди векторов есть нулевой
2если част векторов л.з. один из
векторов равен линейной
комбинации других
3векторы коллинеарны/компланарны
4любые 4 вектора всегда л.з.
5если часть векторов л.з.
-Базис. Множество векторов на прямой
назовем одномерным векторным
пространством, множество векторов
на плоскости -- двумерным векторным
пространством, в пространстве –
трехмерным векторным пространством.
Базисом векторного пространства L
будем называть упорядоченную
систему векторов пространства,
состоящую: из одного ненулевого
вектора, если пространство одномерное;
из двух неколлинеарных векторов, если
пространство двумерное; из трех
некомпланарных векторов, если
пространство трехмерное.
Число векторов в базисе равно
размерности пространства.
Координатами вектора a в
базисе называются
коэффициенты разложения вектора
a по векторам базиса.
Для указания, что вектор a имеет
координаты , мы
будем использовать
запись .
Очевидно, что в фиксированном базисе
каждый вектор имеет, единственный,
набор координат. Сложение векторов
и умножение их на число связаны с
аналогичными действиями с их
координатами.
-Т о единственности разложения
Любой вектор можно разложить
по базису и это разложение
единственно т.к. три вектора
базиса л.н.з. если добавить 4 вектор
то все четыре вектора л.з.
-Декартов базис- тройка упорядо-
ченных взаимно перпендик. векторов
единичной длины (i, j, k)
-Если и взаимно перпендик.
и их модули равны единице, то базис
называется ортонормированным
-, , .
;
-Проекцией точки A на ось l называется
число, соответствующее основанию
перпендикуляра AB, опущенного
на ось lиз точки A.
-Проекцией вектора ABна ось lназ-ся
разность проекций конца вектора и
его начала.
Проекцию будем обозначать
-.
-Скалярным произведением векторов
a и b называется число, равное
где -- угол между векторами a и b.
-1) , 2) , 3) ; 4) при ; 5) ; 6) Если -- угол между векторами
a и b, то ; 7) , если ; 8) тогда и только тогда,
когда векторы a и b ортогональны.
- Векторное произведение 2х векторов.
левая ----- правая
Тройка векторов а,в,с наз.
правоориентированной (правой), если с
конца 3го вектора с кратчайший поворот от
1го ко 2му вектору мы будем видеть против
час. стрелки. Если кратчайший поворот от
1го ко 2му по час. стрелки - левая.
Векторным произведением 2х векторов а и
в наз. такой вектор с, который удовлетворяет
условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3.
тройка а,в,с-правая.
Уравнение линии и поверхности.
1. Уравнение сферы. Сфера- геометрическое
место точек, равноудаленных от 1ой точки,
называемой центром.
O(a,b,c)
|OM|=r, OM={x-a,y-b,z-c}
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- уравнение сферы.
x2+y2+z2=r2- ур-е сферы с центром точке(0,0).
F(x,y,z)=0- ур-е поверхности - ур-ю,
удовлетворяющему координатам x,y,z
любой точки, лежащей на поверхности.
2. Уравнение окружности
|OM|=r, OM={x-a,y-b)
r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2- ур-е окружности
а=b=0, то x2+y2=r2
F(x,y)=0- ур-е линии на плоскости.
Плоскость в пространстве.
Ур-е в плоскости, проходящей через данную
точку, перпендикулярно заданному вектору.
N-вектор нормали
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Для того, чтобы точка MP, необходимо и
достаточно чтобы вектора NM0M
(т.е. N*M0M=0)
A(x-x0)+B(y-y0)+С(z-z0)=0 - ур-е плоскости,
проходящей через данную точку вектору.
Общее уравнение плоскости.
Ax+By+Сz-Ax0-By0-Сz0=0
-Ax0-By0-Сz0=D, где D=Ax+By+Сz
Ax+By+Сz+D=0
Частный случай:
Если D=0, то Ax+By+Сz=0(проходит ч/з 0;0)
Если A=0, то By+Сz+D=0
Если B=0, то Ax +Сz+D=0
Если C=0, то Ax+By+D=0
Если A=B=0, то Сz+D=0
Если A=C=0, то By+D=0
Если A=D=0, то By+Сz=0
Если B=D=0, то Ay+Сz=0
Взаимное расположение плоскостей.
N1,N2-нормальные векторы плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
PQ{A1,B1,C1}
QN2{A2,B2,C2}
1)Пусть PQ<=>N1N2
A1A2+B1B2+C1C2=0 условие перпендик/ PQ.
2) Пусть PQ<=> N1N2
A1/A2=B1/B2=C1/C2- Условие II 2х плоскостей.
A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2- совпадения 2х плоск.
12. Канонич Ур-ие прямой в пространстве.
M0M{x-x0,y-y0,z-z0}
Чтобы точка Мпрямой(или лежала на ней)
необх. и достаточно, чтобы M0M||S
13. Уравнение прямой в пространстве,
проходящей ч/з 2 заданные точки.
l m n
S{x2-x1,y2-y1,z2-z1}
прямая, как пересечение плоскостей.
Нахождение начальной
точки и направляющего вектора прямой.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0
Общее ур-е прямой в пространстве.
Для того, чтобы перейти от общего к
каноническому ур-ю прямой, надо задать
начальную точку и направляющий вектор:
1. Найдем начальную точку:
Z=0
M0(x0,y0,0), т.к. Z=0
2. Найдем направляющий вектор S-?
PN1{A1,B1,C1}
QN1{A2,B2,C2}
S=N1*N2
16. Взаимное расположение прямой на
плоскости.
P:A1x+B1y+C1z+D1=0N1{A1,B1}
Q:A2x+B2y+C2z+D2=0N2{A2,B2}
а)
то
б)
pq<=> N1||N2, то A1/A2=B1/B2
в)
p||q<=> N1N2, то A1A2+B1B2=0
17. Общее ур-е прямой линии на
плоскости. Его частные случаи.
Сначала запишем ур-е прямой, проходящей
через заданную точку заданному вектору.
M0(x0,y0)
M0M{x-x0,y-y0}
n*M0M=0
A(x-x0)+B(y-y0)=0
Ax+By-Ax0-By0=0
-Ax0-By0=C
Ax+By+C=0-общее уравнение прямой
Каноническое ур-е прямой линии на плоск.
Ур-е прямой, проходящей ч/з 2 точки.
Ур-е с угловым коэффициентом.
y-y1=k1(x-x1)
y=k1x-k1x1+y1
y1-k1x1=b
y=k1x+b
ур-е прямой с угловым коэффициентом k.
Пусть даны 2 точки M1(x1,y1),
M2(x2,y2) и x1x2, y1y2.
Для составления Ур-ия
прямой М1М2 запишем
уравнения пучка прямых, проходящих
через точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. М2лежит на
данной прямой, то чтобы выделить ее из
пучка, подставим координаты точки М2 в
уравнение пучка
М1: y-y1=k(x-x1) и найдем k:
Теперь вид искомой
прямой имеет вид:
или:
- Ур-е прямой, проходящей ч/з 2
Угол м/ду прямыми на плоскости.
Условия || и.
а)
S1{l1,m1} S2{l2,m2},
или
p:y=k1x+b1, k1=tg1
q:y=k2x+b2, k2=tg2 =>tg=tg(2-1)=
=(tg2-tg1)/(1+ tg1tg2)=
=(k2-k1)/(1+k1k2).
б) p||q, tg=0, k1=k2
в)pq,то
Расстояние от точки до прямой на
плоскости и до плоскости в пространстве.
1. Ax+By+C=0, M0(x0,y0)
2. Пусть плоскость задана ур-ем Ax+By+Cz+D=0
Кривые линии 2-го порядка.
Кривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где
а) Каноническое ур-е эллипса
- Каноническое ур-е эллипса
Если a=b, то x2+b2=a2 - ур-е окружности.
б) Ур-е гиперболы: x2/a2-y2/b2=1
в) ур-е параболы: y2=2px или y=ax2
г) ур-е сферы: x2+y2+z2=а2 (r2=(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2)
д) ур-е эллипса: x2/a2-y2/b2+z2/c2=1
Парабола и ее свойства.
Множество точек плоскости, координаты
которых по отношению к системе
декартовых координат удовлетворяет
уравнению y=ax2, где х и у - текущие
координаты, а- нек. число, наз. параболой.
Если вершина нах.
в О(0,0), то ур-е примет вид
y2=2px-симметрично отн. оси ОХ
х2=2pу-симметрично отн. оси ОУ
Точка F(p/2,0) наз. фокусом
параболы, а прямая x=-p/2 - ее директриса.
Любой точке М(х,у), принадлежащей параболе,
расстояние до фокуса = r=p/2
Св-ва:
1. парабола предст. собой точек плоскости,
равноотстающих от фокус и от директрисы y=ax2.
Эллипс и его св-ва:
Кривая второго порядка наз. эллипсом если
коэффициенты А и L имеют одинаковые знаки
Аx2+Cy2=
ур.-е
наз. канонич. ур.-ем
эллипса,
где При а=в
представляет собой ур-е окружности х2+y2=а2
Точки F1(-c,0) и F2(c,0) - наз. фокусами эллипса а.
Отношение =с/а наз. его эксцентриситетом
(0<=<=1)
Точки A1,A2,B1,B2 -вершины эллипса.
Св-во: Для любой точки эллипса сумма расстояний этой
точки до фокусов есть величина постоянной, =2а.
Гипербола и ее св-ва.
Кривая 2го порядка наз. гиперболой, если в ур-ии
Ax2+Cy2=, коэффициент А и С имеют
противоположные знаки, т.е. А*С<0
б) Если >0, то каноническое ур-е гиперболы
примет вид: x2/a2-y2/b2=1, F1(c,o) и F2(-c,0) –
фокусы ее, >0, =c/a - эксцентриситет.
Св-во: для любой точки гиперб абсолютная величина
разности ее расстояний до фокусов есть
величина постоянная = 2а.
б) если =0, ур-е примет вид x2/a2-y2/b2=0,
получаем 2 перекрестные прямые
х/ау/b=0
в) если <0, то x2/a2-y2/b2=-1 - ур-е
сопряженной гиперболы.
Понятие о поверхностях 2го порядка.
Алгебраическим ур-ем 2ой степени наз.
ур-е вида Ax2+Bxy+Cy2+Dx+y+F=0,
где A,B,C,D,,F - действительные числа
Линии, которые в системе декартовых
координат определяются алгебраическим
ур-ем 2ой степени наз. линиями 2го порядка.
Опред/ пределов последовательности
и ф-ции. Осн. св-ва пределов ф-ции