GfВведение в математический анализ План
Множества. Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции. Основные свойства функции. Понятие обратной, сложной функции. Приложение функций в экономике.
Числовые последовательности. Предел последовательности. Число е, применение в экономике (формулы сложных и непрерывных процентов).
Предел функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы функций. Непрерывность функций, классификация точек разрыва.
Множества
Понятие множества считается первоначальным, неопределенным.
Определение 1. Под множеством будем понимать совокупность каких-либо объектов произвольной природы.
Объекты или предметы, из которых состоят множества, называются элементами множества.
Множества обозначают прописными латинскими буквами А, В, …, X, У, …, а элементы множества – строчными латинскими буквами а, b, …, x, y, … .
Если
элемент x
является
элементом множества А,
то пишут
,
если y
не является элементом множества А,
то пишут
.
Определение 2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается .
Элементы
множества записывают в фигурных скобках,
внутри которых они перечислены (если
это возможно), либо указано общее
свойство, которым обладают все элементы
данного множества. Например, запись
А={1,
2, 3} означает, что множество состоит из
элементов 1, 2 и 3; запись
означает, что множество А
состоит из всех действительных (если
не оговорено иное) отрицательных чисел.
Определение 3. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.
Обозначается
.
Определение 4. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Равенство
множеств А
и В
обозначается
.
Операции над множествами
1.
Объединением
множеств А
и В
называется
множество
,
содержащее те и только те элементы,
которые принадлежит хотя бы одному из
множеств А
или В.
.
2.
Пересечением
множеств А
и В называется
множество
,
содержащее те и только те элементы,
которые принадлежат обоим множествам
одновременно.
.
3.
Разностью
множеств А
и В называется
множество
,
содержащее те и только те элементы
множества А,
которые не принадлежат множеству В.
.
4.
Декартовым
произведением множеств
А
и В
называется множество
,
содержащее всевозможные упорядоченные
пары (x,y),
где
,
.
.
Замечание.
Если
А=В,
то
называется декартовым
квадратом
и обозначается
,
т.е.
.
Пример. Рассмотрим числовые множества:
1. N={1, 2, 3, …, n, …} – множество натуральных чисел;
2. Z={ …, –2, –1, 0, 1, 2, …, } – множество целых чисел;
3.
Q=
– множество рациональных чисел;
4. R – множество действительных чисел.
Между
этими множествами существует соотношение:
.
Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью.
Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.