34.Комплексні числа та дії з ними в алгебраїчній формі.

Означення. Комплексним числом називається число виду , де a, b — дійсні числа, і² = – 1. Число а називається дійсною частиною, bi — уявною частиною, і — уявною одиницею. Множина комплексних чисел позначається С.Означення. Комплексні числа виду a + bi і a – bi називаються спряженими. Комплексні числа виду a + bi і – a – bi називаються протилежними. Спряжене до комплексного числа z позначається .Означення. Два комплексних числа a + bi і a₁ + b₁i вважаються рівними в тому і тільки в тому випадку, якщо a = a₁ і b = b₁.Зауваження. Щодо комплексних чисел не прийнято жодної угоди, яке з них вважати більшим.

Додавання: (a + bi) + (a₁ + b₁і) = (a + a₁) + (b + b₁)i.

Віднімання: (a + bi) – (a₁ + b₁i) = (a – a₁) + (b – b₁)i.

Множення: (a + bi)(a₁ + b₁i) = aa₁ + a₁bi + ab₁i + bb₁i²=(aa₁ – bb₁) + (a₁b + ab₁)i.

Ділення:

Піднесення до степеня: спочатку знайдемо результати від піднесення до степеня уявної одиниці, знаючи, що за умовою і² треба вважати таким, що дорівнює – 1.

35.Комплексні числа та дії з ними в тригонометричній формі.

Додавати і віднімати комплексні числа простіше і зручніше, коли компоненти подані в алгебраїчній формі. Зовсім інша річ з останніми чотирма алгебраїчними діями.

Множення. Нехай треба перемножити числа:

, .

Дістанемо:

Звідси випливає:

Модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добуткові модулів співмножників, а аргумент — сумі аргументів співмнож­ників.

36.Невизначений інтеграл та його геометрична інтерпретація. Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається

, ,

де — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція є рівняння однопараметричної сім’ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат

37. Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення ,

І.Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ.Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

,

38.Метод підстановки (заміна змінної інтегрування) інтегрування частинами

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема 4. Якщо f(x) — неперервна, а має непе- рервну похідну, то:

Наслідок.

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису пер­шого диференціалу), тому, наприклад:

У такому розумінні слід розглядати і всю таблицю інтегралів.

Інтегрування частинами

Теорема 3. Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:

На практиці функції u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом:

— при інтегруванні частинами підінтегральний вираз розбивають на два множники типу u  dv, тобто ; при цьому функція u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалась, а за dv беруть залишок підінтегрального виразу, який містить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

39.Інтегрування раціональних дробів.

Означення. Відношення двох многочленів називаєть­ся раціональним дробом.

Означення. Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менший від степеня многочлена в знаменнику, тобто n < m; якщо n  m, то дріб називається неправильним.

Теорема 5. Будь-який неправильний раціональний дріб можна подати у вигляді суми многочлена (цілої частини) та правильного раціонального дробу.

Означення. За домовленістю найпростішими раціональними дробами називаються такі дроби чотирьох типів:

І.; ІІ. ; ІІІ. ; IV. ,

де , інтеграли від яких мають вигляд

І. ;

ІІ. ;

ІІІ. — розглянуто в (7.1.9);

IV. — інтегрується за допомогою рекурентних формул.

Теорема 6. Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна подати у вигляді скінченної кількості найпростіших дробів, використовуючи такі правила:

1). Якщо ,, то

;

2). Якщо , то

,

де А_і, В_і, і = — деякі коефіцієнти, та — правильні раціональні дроби.