информ.лаба №9. 1 курс .игхту

Лабораторная работа 9

вариант №8

«Решение систем линейных уравнений»

Задание: Решить систему линейных ур-й

c точностью методами:

1)Гаусса

2)Гаусса-Зейделя

Теоретическое введение

1. Метод Гаусса

Суть метода состоит в следующем. Вначале квадратную матрицу коэффициентов при неизвестных преобразуют в верхне-треугольную матрицу (прямой ход). Для этого сначала первое неизвестное исключают из второго и последующих уравнений системы, затем второе неизвестное исключают из третьего и последующих уравнений и так далее. Таким образом, в последнем уравнении остается только одно неизвестное. Для реализации прямого хода используют следующие известные правила:

- любое уравнение системы можно умножить на постоянный коэффициент;

- можно сложить два любых уравнения системы и результат записать вместо одного из этих уравнений.

На втором этапе последовательно вычисляют значения всех неизвестных, начиная с последнего (обратный ход).

Рассмотрим применение метода Гаусса на примере. Пусть имеем такую систему из трех уравнений:

(2.2)

Для исключения первого неизвестного из второго уравнения умножим первое уравнение на (-a₂₁/a₁₁), т.е. на –0,5. Первое уравнение примет вид

-2x₁ – 0,5x₂ + 0,5x₃ = -1,5.

Сложив его со вторым уравнением исходной системы (2.2), получим

– 2,5x₂ + 1,5x₃ = -0,5.

Можно заметить, что неизвестное x₁ в данном уравнении отсутствует.

Для исключения первого неизвестного из третьего уравнения системы (2.2) умножим первое уравнение этой системы на (-a₃₁/a₁₁), т.е. на –0,25. Первое уравнение примет вид

-x₁ – 0,25x₂ + 0,25x₃ = -0,75.

Сложив его с третьим уравнением исходной системы (2.2), получим

-1,25x₂ + 2,25x₃ = 4,25.

Можно заметить, что и в этом уравнении неизвестное x₁ отсутствует.

Таким образом, система (2.2) примет вид

Теперь исключим неизвестное x₂ из третьего уравнения системы (2.3), сложив его со вторым уравнением системы (2.3), умноженным на –0,5. Получим систему

Прямой ход закончен, исходная матрица коэффициентов приведена к верхне-треугольному виду. В третьем уравнении системы (2.4) присутствует только неизвестное x₃. Теперь легко осуществить обратный ход, т.е. вычислить неизвестные. Из третьего уравнения вычислим x₃, далее его значение подставим во второе уравнение и вычислим x₂, а затем из первого уравнения найдём x₁. Получим ответ: x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3. Задача решена.

2. Метод Гаусса-Зейделя

Данный метод является одним из самых распространенных итерационных методов решения СЛАУ, поскольку он отличается простотой и легкостью программирования. Рассмотрим его суть. Допустим, диагональные коэффициенты исходной матрицы {a_ij}отличны от нуля (в противном случае можно переставить местами уравнения исходной системы). Представим исходную систему (2.1) в следующем виде:

(2.5)

Если теперь задать для неизвестных их начальные приближенные значения , то система (2.5) позволяет вычислить более точные значения неизвестных на первом шаге (на первой итерации):

(2.6)

Используя найденные значения неизвестных, можно еще более уточнить их на второй итерации:

(2.7)

и так далее.

В данном методе для нахождения значения i-го неизвестного на каждой итерации используются значения предыдущих неизвестных, уже найденные на данной итерации. Общую формулу определения i-го неизвестного на k-й итерации для системы n уравнений можно записать так:

i = 1, 2, … , n; k = 1, 2, …

(2.8)

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения x_i^(k), не станут достаточно близкими к x_i^(k-1). Близость этих значений можно охарактеризовать максимальной абсолютной величиной их разности . Тогда при заданной точности вычислений  > 0 критерий окончания итерационного процесса можно записать в виде

.

(2.9)

При выполнении этого условия итерационный процесс называется сходящимся. В этом случае максимальные разности между значениями соответствующих неизвестных в двух последовательных итерациях убывают, а сами значения стремятся к решению системы.

Доказано, что для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения были не меньше суммы модулей всех остальных коэффициентов:

,

(2.10)

При этом хотя бы для одного уравнения неравенство (2.10) должно выполняться строго.

В качестве примера рассмотрим решение методом Гаусса-Зейделя системы (2.2). Заметим, что достаточное условие сходимости итерационного процесса (2.10) для этой системы соблюдается. Запишем исходную систему в виде

В качестве начальных приближений возьмем нули, т.е. примем x₂⁽⁰⁾ = x₃⁽⁰⁾= 0.

Найдем значения неизвестных на первой итерации:

Далее произведем вторую итерацию:

Производя аналогично третью и последующие итерации, найдем:

x₁⁽³⁾ = 0,984; x₂⁽³⁾ = 1,981; x₃⁽³⁾ = 2,953;

x₁⁽⁴⁾ = 1,015; x₂⁽⁴⁾ = 1,992; x₃⁽⁴⁾ = 2,988;

x₁⁽⁵⁾ = 0,999; x₂⁽⁴⁾ = 1,993; x₃⁽³⁾ = 2,997.

Нетрудно заметить, что разности между значениями соответствующих неизвестных в процессе итераций убывают, следовательно, процесс решения сходящийся, что и следовало ожидать. Если принять точность вычислений  = 0,02, то итерации следует закончить. При увеличении заданной точности вычисления корней, число итераций возрастает, например, при  = 0,00001 следует выполнить 11 итераций, а результат будет x₁⁽¹¹⁾ = 1,000000; x₂⁽¹¹⁾ = 1,999998; x₃⁽¹¹⁾ = 2,999999.

Выполнение работы

1. Метод Гаусса

2,23	14,8	1,3	7,1
1,35	-2,82	-19,3	7
17,5	4,1	-1,7	6,8
1	6,636771	0,58296	3,183857		1
1	-2,08889	-14,2963	5,185185
1	0,234286	-0,09714	0,388571
0	-8,72566	-14,8793	2,001329
0	-6,40249	-0,6801	-2,79529
	1	1,70523	-0,22936		2
	1	0,106225	0,436594
	0	-1,59901	0,665955		3
		x3=	-0,41648
		x2=	0,480834
		x1=	0,235461

Ответ: x1=0,235±0,001; x2=0,281±0,001, x3=-0,416±0,001

2 Метод Гаусса-Зейделя

1. приведем систему к виду:

2. В качестве нулевых приближений корней возьмем:

=0, =0, =0

3. применяя процесс Зейделя последовательно получим:

;

№ итерации	x1	x2	x3	d1	d2	d3	max d
0	0	0	0
1	0,388571	0,421181	-0,39705	0,388571	0,421181	0,397055	0,421181
2	0,251324	0,476738	-0,41477	0,137248	0,055556	0,017718	0,137248
3	0,236586	0,480515	-0,41636	0,014737	0,003777	0,001583	0,014737
4	0,235548	0,48081	-0,41647	0,001039	0,000296	0,000116	0,001039
5	0,235467	0,480832	-0,41648	8,05E-05	2,23E-05	8,89E-06	8,05E-05

Ответ: x1=0,235±0,001; x2=0,281±0,001, x3=-0,416±0,001

Вывод: в результате выполнения данной лабораторной работы мы решили систему двумя методами и получили ответы:

x1=0,235±0,001; x2=0,281±0,001, x3=-0,416±0,001 – методом Гаусса

x1=0,235±0,001; x2=0,281±0,001, x3=-0,416±0,001 – методом Гаусса-Зейделя.

Оба метода дают одинаковый результат, а значит система решена верно. Мне больше понравился метод Гаусса, так как он показался мне более понятным и легким.