Ответы на вопросы к экз. (зима 2018-2019) / 9. Скорость спутника на эллиптической орбите. Уравнение ускорения спутника. Орбитальный период

Спутник на орбите движется быстрее, когда он ближе к планете, вокруг которой он вращается, и медленнее, когда он дальше. Когда спутник падает с большой высоты на более низкую высоту, он развивает скорость, и когда он поднимается с маленькой высоту на большую, он теряет скорость. Спутник на круговой орбите имеет постоянную скорость, которая зависит только от массы планеты и расстояния между спутником и центром планеты.

Спутник Земли на эллиптической орбите будет иметь компонент сил, направленный в ту же или в противоположную сторону движению спутника. Эта сила способна совершать работу над спутником.
Таким образом, сила способна замедлить и ускорить спутник. Когда спутник удаляется от земли, сила направлена в противоположном направлении относительно движения спутника. В этом случае сила действует отрицательно, и замедляет спутник. Когда спутник движется по направлению к земле, то сила действует в том же направлении. В этом случае сила действует положительно на спутник и ускоряет его. Впоследствии, скорость спутника с эллиптическим движением постоянно меняется - растет, когда он движется к Земле и уменьшается, когда он удаляется от Земли.

Спутник движется быстрее в перигее (ближайшая к Земле точка орбиты), чем в апогее (наиболее удаленная от Земли точка орбиты).

Аналогичные рассуждения могут быть использованы, чтобы определить уравнение для ускорения спутника, т.е. выражены в терминах массы и радиуса орбиты. Значение ускорения спутника равно ускорению свободного падения спутника в любом месте орбиты. Уравнение для ускорения силы
тяжести задается как g = (G • M)/r2.
Таким образом, ускорение спутника в круговом движении вокруг какого-либо тела задается следующим уравнением:
a=G*Mcentral/R^2.
где G это 6,673*10^-11
Mcentral - масса центрального тела на орбите которого вращается спутник;
R^2 - средний радиус орбиты для спутника.

Орбитальный период.
Период спутника (T) и среднее расстояние от центрального тела (R) связаны
следующим уравнением:
T^2/R^3=4*пи/G*Mcentral где
Т - период спутника;
R - cредний радиус орбиты для спутника (расстояние от центра планеты до эллиптической орбиты);

Есть важное соображение для всех этих уравнений - период, скорость и ускорение орбитального спутника не зависят от массы спутника . Период, скорость и ускорение спутника зависят только от радиуса орбиты и массы центрального тела, на чьей орбите находится спутник. Точно так же, как и в случае движения снаряда на Земле, масса пули не влияет на ускорение в направлении Земли и скорости в любой момент времени. Когда сопротивление воздуха не значительно, и действует только сила тяжести, массой движущегося объекта можно пренебречь. Это относится и к орбитальным спутникам.