2 lectures

Презентация . Введение в курс

Общая структура системы автоматического регулирования
Основные требования предъявляемые к системам управления
Классификация систем автоматического управления

Общая структура системы автоматического регулирования

На унке . представлена общая структура системы автоматического регулирования (управления).


Структурная схема системы регулирования (управления):
— вектор входных заданий вектор сигналов управляющих исполнительными устройствами
и — воздействия на объект регулирования (управления) у — вектор выходных сигналов у — вектор измеренных выходных сигналов

— вектор возмущающих воздействий
Основные требования предъявляемые к системам управления
Устойчивость
Точность регулирования
точности регулирования судят по разности входного и выходного сигналов (сигналу ошибки).
Качество регулирования
качестве регулирования судят по временным характе тикам на выходе системы как реакция на скачкообразное изменение

ВХОДНОГО СИГНЗЛЗ.

СЛСДУСТ ТМСТИТЬ ЧТО ПСРВООЧСРСДНЬ М СН ВНЬ М требованием ЯВЛЯСТСЯ требование УСТОЙЧИВОСТИ.

. Классификация систем автоматического управления



по виду математического описания





Линейные и Стационарные и
нелинейные нестационарн ые



Системы с сосредоточенными и
распределенными параметрами





Детерминированные
и стохастические









По принципу действия




Системы комбинированного

Разомкнутые Замкнутые управления (помимо обратной связи
п угсгвуе'г прямая передача с

входа на ВЫХОД системы)









Самонастраивающиеся






С истсмы
экстремального
регулирования







Системы с
перестройкой
параменров



. . . Классификация систем автоматического управления




По характеру сигналов В системе













Непрерывные Дискретно непрерывные Импульсные




По виду решаемой задачи













Задача стабилизации Программное регулирование Следяшие системы
заранее известна заранее неизвестна

Классификация систем автоматического управления (продолжение)

Презентация Способы математического описания линейных динамических систем

Пространство переменных состояния
Передаточная функция
Структурная математическая модель

Основные правила преобразования структурных схем ..

Пространство переменных состояния
Любую линейную динамическую систему можно представить в виде линейного дифференциального уравнения п го порядка.

Известно что такое дифференциальное уравнение можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка в

которой число уравнений равно порядку исходного уравнения унок

некоторые постоянные коэффициенты и‚ — входные сигналы (воздействия на систему)

ОДНЗКО ПИСЬ В Я СИСТСМУ автоматического управления важно ВЬ ДСЛИТЬ еще И ВЫХОД СИСТСМЬ (ВЬ Х ДНЬ С СИГНЗЛЬ ):


— некоторые постоянные коэффициенты у‚ — выходные сигналы (выходы системы)

Используя матричное представление получим следующее описание линейного динамического объекта или системы автоматического

управления

Показанный на унке . способ математического описания носит название пространства переменных состояния где П — вектор
входных сигналов У — вектор выходов системы А — матрица системы В — матрица передачи входного воздействия на систему С — матрица

наблюдения ) — матрица мгновенной прямой передачи входного сигнала на выход аХ — вектор состояния предоставляющий информацию

СОСТОЯНИИ объекта ИЛИ СИСТСМЬ В ТОТ ИЛИ ИНОЙ МОМСНТ времени.

Примечание. Легко заметить что в случае одного входа матрица В трансформируется в вектор столбец а в случае одного выхода

матрица С в вектор строку.

. Передаточная функция

Понятие передаточной функции выводится на основании применения преобразования Лапласа к описанию в виде пространства
ПСРСМСННЫХ СОСТОЯНИЯ.

Важно отметить что аппарат передаточной функции применяется ЛИШЬ к линейным стационарным системам. Кроме того начальные
условия ДЛЯ вектора СОСТОЯНИЯХ ДОЛЖНЫ быть нулевыми.

После применения преобразования Лапласа с учетом перечисленных допущеНИй система показанная на унке . примет

следующий вид:


Выражая Х ( ) ИЗ первого уравнения И подставляя его во второе получаем окончательный результат ( унок . ).

Выражение обозначенное как РУС?) И есть передаточная функция связывающая вход с выходом.

Определение. Передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по
Лапласу входного.
В случае множества входов И выходов передаточная функция представляет собой матрицу функций связывающих й выход с і м

входом как показано на унке . .


Каждый элемент матрицы представляет собой дробно рациональную функцию в виде отношения двух полиномов (см. унок
Обратите внимание что порядок полинома числителя не может превышать порядок полинома знаменателя. Это связано с физической
реализуемостью исследуемого объекта ИЛИ системы.

Порядок полинома знаменателя п совпадает с количеством дифференциальных уравнений пространства переменных состояния И

Н Ь В ТСЯ ПОРЯДКОМ СИСТСМЬ .

Примечание. В дальнейшем будем рассматривать только случаи с одним входом И одним выходом.

На унке . приведены несколько примеров передаточных функций.

Структурная математическая модель

Наряду с пространством переменных состояния И передаточной функцией в теорИИ автоматического управления очень широко
используется графическое описание объекта ИЛИ системы называемое структурной схемой ИЛИ структурной математической моделью.

На унке . приведены основные элементы структурных схем используя которые можно придавать графическую форму

различным математическим формулам И выражениям.

Элемент структурной схемы Математическая интерпретация

линия связи


стрелка УКЗЗЬГБЗЁТ направление передачи СИГНЗЛЗ

узел

безынерционный линейный преобразователь (коэффициент

усиления)
где К некоторый постоянный коэффициент


элемент сравнеъшя

мощение)
элемент умножеъшя
элемент интегрирования
(продолжение)

Основные правила преобразования структурных схем

Рассмотрим основные правила преобразования структурных схем (см. унок . ). Пусть %( ) — некоторые передаточные функции

связывающие вход И выход соответствующих преобразователей.

ТПП СОЕДИНЕНИЯ ЭКВ ВВ ЗЛОВТВОО представление

последовательное соединение преобразователей
параллельное СОСШ'П ХЕНИС
соединение с отрицательной обратной связью
соединение с положитещной обратной связью
(продолжение)

Презентация . Типовые динамические звенья

Понятие типовых Динамических звеньев
Временные характе тики
Понятие временных характе тик
Переходная И импульсная переходная характе тики типовых Динамических звеньев
Отыскание аналитических выражений временных характе тик сложных систем
Частотные характе тики
Понятие частотных характе тик
Частотные характе тики типовых динамических звеньев

Построение частотных характе тик сложных систем

Понятие типовых динамических звеньев

Понятие типовых динамических звеньев (ТДЗ) связывают с типами корней полиномов числителя И знаменателя передаточной
функции.

Различные типы корней И ограничивают список так называемых типовых динамических звеньев которые могут входить в состав той

ИЛИ иной передаточной функции системы унок


Передаточвая функция Типы корней и пп расположение Параметры передаточной
Наименование
на комплекснои плоскости функции


Апериод'нческое
постоянная времени.
устончивое
Апериодическое
постоянная времени
неустоичивое Т:

Интегрирующее —

Передаточная функция ; Типы корней и их расположение і Параметры передаточной

Наименование
эщекгвггв члггскочв
постоянная времени
олеон'телъное — коэффициент затухания
устоичивое
постоянная времени ‹:
Колеоатещное — коэффициент затухания
неустоичивое ;

Консервативное
(колебательное Т— постояъшая времени:
вырожденное)


(продолжение)

Наименование Передаточиая функция ›

ьшъшмально—фазовое постоянная времени
первого порядка

нешпщмально фазовое — постоянная времени
первого порядка

Идеальное
дифференцирующее
(продолжение)

Передаточвая функция Типы корней в их расположение ; Параметры передаточной
накомплектплостт Фттв

шшршально фазовое
второго порядка

постоянная времени



постоянная времени

неьпшимально—фазовое
второго порядка
Не

вырожденное второго ; — постоянная времени с
порядка '

. . (продолжение)

. Временные характе тики

. . Понятие временных характе тик

В теорИИ автоматического управления под временными характе тиками понимают реакции динамических систем на некоторые
типовые входные воздействия.

Чаще всего в качестве типовых входных воздействий рассматривают следующие функции времени

Единичный ступенчатый сигнал Дельта—функция




Определения:

Переходной характе тикой динамической системы называется ее реакция на единичный ступенчатый сигнал.
Обозначим как

Импульсной характе тикой динамической системы называется ее реакция на “дельта” функцию.
Обозначим как

Примечание. Несложно доказать что импульсная характе тика есть производная от переходной характе тики

. . Переходная И импульсная характе тики типовых динамических звеньев

Далее приводятся реакции на единичный ступенчатый сигнал И дельта функцию систем представленными типовыми динамическими
звеньями ( унок . ). ПрИ этом рассматриваются лишь звенья описываемые полиномом знаменателя передаточной функции. Здесь
следует вспомнить что порядок полинома числителя передаточной функции не может превышать порядок полинома знаменателя И

следовательно нет смысла рассматривать временные характе тики отдельно для дифференцирующих звеньев.

ТИПОВОЕ динамическое


звено Переходная характе тика Импульсная переходная характе тика

Апериодическое
устойчивое

Апериодическое
неустойчивое

Переходная характе тика Импульсная переходная характе тика

Интегрирующее

Колебателъное
устойчивое

звено Переходная характе тика Импульсная переходная характе тика
Аншштиче ещоешршениепред
самостоятельно найти самостоятельно
Колебательное
неустойчивое

Консервативное
(колебатешное
вырожденное)
(продолжение)
Отыскание аналитических выражений временных характе тик сложных систем

Для нахождения аналитических выражений временных характе тик систем в составе передаточных функций которых находятся

несколько типовых динамических звеньев удобно воспользоваться принципом суперпозиции. Этот подход иллюстрирует унок на
примере сложной системы заданной определенной передаточной функцией.

Частотные характе тики

Понятие частотных характе тик

ПрИ исследовании частотных характе тик некоторой динамической системы предполагается что на ее вход подается
гармонический сигнал Авхзіноэі. На выходе прИ этом по истечении определенного времени устанавливается сигнал
Причем амплитуда И фаза установившегося гармонического сигнала по отношению к входному сигналу зависит от
частоты ). В связи с этим И вводят понятия частотных характе

ЗЬШЛИТУЦНЗЯ ЧЗСТОТНЗЯ характе тика

фазовая частотная характе тика

ЕСЛИ известна передаточная функция РУС?) некоторой исследуемой системы то аналитические выражения ее частотных характе тик
можно легко найти используя замену $ . В результате получаем передаточную функцию в комплексной форме № ) и(ш) + у(ш)‚
где и(ш) И и(ш) — действительная И мнимая части передаточной функции соответственно. ПрИ этом амплитудной частотной характе тикой

будет являться модуль & фазовой частотной характе тикой — фаза полученной комплексной передаточной функции ( унок . ).

В теорИИ автоматического управления частотные характе тики графически представляются как правило в виде так называемых
годографа передаточной функции И логарифмических амплитудной И фазовой частотной характе тик (ЛАФЧХ).
Определение. АмплитуДНО фазовой частотной характе тикой ИЛИ годографом передаточной функции называют траекторию
описываемую вектором передаточной функции № ) на комплексной плоскости прИ изменеНИИ частоты от нуля до бесконечности.
ЛАФЧХ предполагает построение амплитудной И фазовой частотных характе тик в логарифмическом масштабе прИ этом
руководствуются следующими правилами:
. частота ш откладывается в логарифмическом масштабе
амплитудная характе тика рассматривается в деЦИбелах
Частотные характе тики типовых динамических звеньев

Аналитические выражения

Апериодическое
устойчивое Н

Апериодическое
неустойчивое

Интегрирующее
Аналитические выражения

Копебателъное
Колебательное
неустойчивое
(продолжение)
Годограф
Аналитические выражения
(колебательное
фазовое первого
Консервативное
(продолжение)
Аналитические выражения
частотных характе тик

Дифференцирующее
фазовое первого
поилка
Идеальное
дафферевдирующее
(продолжение)
Аналитические выражения '
Езтхвнзггватцч!
ДИФФеренцирующее
фазовое второго аппещ
дисьферегширующее

НСЬШНИМЗЛЪНО



фазовое второго
порядка
(продолжение)
Аналитические выражения
частотных характе тик
ЦИФФеренцирующее
. вырожденное
второго порядка
(продолжение)
Построение частотных характе тик сложных систем
Следующий унок на примере демонстрирует алгоритм нахождения аналитических выражений амплитудной И фазовой частотной
характе тик сложной системы.
Для построения логарифмических частотных характе тик также можно воспользоваться таблицей типовых динамических звеньев.
Для этого удобно использовать метод разбиения передаточной функции на простые множители что означает представление ее в ВИде
произведения типовых динамических звеньев. Рассмотрим пример системы на унке . заданной в виде произведения двух
апериодических звеньев.

Логарифмические амплитудную И фазовую частотные характе тики получают путем суммирования соответственно амплитуд И фаз

типовых динамических звеньев Годограф можно легко построить по полученным

Презентация Исследование устойчивости

. Понятие устойчивости по Ляпунову
. Прямой метод исследования устойчивости линейных систем
. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

. Критерий устойчивости Найквиста Михайлова. Понятие запасов устойчивости

. Понятие устойчивости по Ляпунову

Понятие устойчивости системы автоматического управления тесно связано с понятием устойчивости ее положения равновесия. Если
говорить о линейной автономной (изолированной от внешних воздействий) системе то ее положение равновесия всегда находится в нуле
мерного пространства переменных состояния.

Определение. Если траектория в н мерном пространстве переменных состояния начавшись в некоторой окрестности положения
равновесия с течением времени стремится к нему то такое положение равновесия называется асимптотически устойчивым.
Соответствующая система называется асимптотически устойчивой.

Определение. Если траектория в н мерном пространстве переменных состояния начавшись в некоторой окрестности положения
равновесия с течением времени удаляется от него то такое положение равновесия называется неустойчивым. Соответствующая система
называется неустойчивой.

Определение. Если траектория в н мерном пространстве переменных состояния начавшись в некоторой окрестности положения
равновесия с течением времени не стремится И не удаляется от него то такое положение равновесия называется устойчивым.
Соответствующая система называется устойчивой.

Для системы второго порядка п мерное пространство переменных состояния сводится к так называемой фазовой плоскости где по
оси абсцисс откладывается первая координата вектора состояния х ‚ в качестве которой выбираем выходной сигнал а по оси ординат вторая
координата х; в виде ее скорости изменения.

Общее решение уравнений состояния задает на фазовой плоскости фазовую траекторию параметром вдоль которой является время.

На унке . показаны четыре примера систем: неустойчивой асимптотически устойчивой И устойчивой


Прямой метод исследования устойчивости линейных систем
устойчивости можно судить по расположению полюсов (корней полинома знаменателя передаточной функции) системы на

комплексной плоскости.

с Если все полюса передаточной функции расположены в левой части комплексной плоскости то соответствующая система
является асимптотически устойчивой

. Если средИ всех полюсов передаточной функции есть хоть один полюс расположенный в правой части комплексной
плоскости то соответствующая система является неустойчивой

. Если помимо полюсов передаточной функции располагаемых в левой части комплексной плоскости есть один ИЛИ несколько
НСКРЗТНЬТХ ПОШОСОВ НЗ МНИМОЙ СИ ТО такая система ЯВЛЯСТСЯ УСТОЙЧИВОЙ.

На унке . приведены примеры неустойчивой (а) асимптотически устойчивой ( ) И устойчивой (в) систем.
Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
Критерий Гурвица работает с коэффициентами характе тическото уравнения системы.
Определение. Характе тическим уравнением называется полином знаменателя передаточной функции приравненный нулю.
Пусть характе тическое уравнение некоторой исследуемой системы имеет ВИД:
Необходимым условием критерия является положительность всех коэффициентов характе тического уравнения.
Достаточным условием асимптотической устойчивости является положительность всех диагональных миноров так
называемой матрицы Гурвица
Критерий устойчивости Найквиста Михайлова. Понятие запасов устойчивости
Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по ее частотным характе тикам в разомкнутом состоянии
Существуют две формулировки критерия Найквиста:
для системы устойчивой в разомкнутом состоянии замкнутая система будет тоже устойчивой если годотраф передаточной
функции разомкнутой системы № ) не охватывает точку — на комплексной плоскости прИ изменеНИИ частоты
для системы неустойчивой в разомкнутом состоянии замкнутая система будет устойчивой если годограф передаточной функции

разомкнутой системы № ) охватывает точку — на комплексной плоскости в положительном направлении Тр раз прИ изменеНИИ частоты

где тр — число корней характе тическото уравнения разомкнутой системы в правой полуплоскости.

По годографу ИЛИ соответствующим ЛАФЧХ разомкнутой системы вводится количественная мера устойчивости в виде запасов
устойчивости по фазе И модулю. Запас по фазе ус определяют на частоте среза Шо системы когда амплитуды входного И выходного сигналов
равны & запас по модулю Н… на частоте ш„ где фазовая частотная характе тика равна ° .

На унке . показан пример системы передаточная функция в разомкнутом состоянии которой содержит трИ устойчивых
апериодических звеньев содержащих две заданные постоянные времени И варьируемый коэффициент усиления К.

Соответствующие запасы устойчивости показаны на годографе передаточной функции разомкнутой системы И ее


Из унков видно что с ростом коэффициента усиления К увеличивается частота среза И запасы устойчивости уменьшаются. Для
предельного значения коэффициента усиления Кпр запасы устойчивости становятся нулевыми а это означает что система оказывается на

границе области устойчивости поскольку годограф И проходит через точку на частоте
Дальнейшее увеличение коэффициента усиления Кпр приводит к неустойчивости замкнутой системы так как годограф

будет охватывать точку .

Презентация . Исследование качества И точности регулирования

Основные показатели качества регулирования
Понятие корневого годографа
Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа

Исследование точности регулирования

Основные показатели качества регулирования
Напомним что о качестве регулирования судят по реакции системы на скачкообразное изменение входного сигнала. ПрИ этом

аНЗЛИЗИРУЯ временные ХЗРЗКТС ТИКИ МОЖНО ВЬЩСЛИТЬ РЯД так Н Ь В МЬ Х ПОКЗЗЗТСЛСЙ КЗЧССТВЗ:

. время регулирования
. максимальное перерегулирование

. число колебаний за время регулирования
скорость нарастания сигнала на выходе

Причем средИ основных показателей выделяют время регулирования И максимальное переретулирование. Время регулирования
определяют по пяти процентной зоне относительно установившегося значения выходного сигнала & максимальное перерегулирование по

максимальному выбросу за пределы установившегося уровня

Еезропзе

Реак этрапе
(зеоопав)
(зееопаз)

Тине (весопаз)

Понятие корневого годографа
Определение. Корневой годограф — траекторИИ корней характе тического уравнения замкнутой системы на комплексной
плоскости прИ изменении коэффициента усиления от нуля до бесконечности.
Примечание. Рассматривается случай с отрицательной обратной связью.
Корневой годограф предназначен для:
. исследования устойчивости
. оценки характера переходных процессов.
КОРНСВОЙ тодограф МОЖНО ЛСГКО ПОЛУ‘ШТЬ ИСПОЛЬЗУЯ ВЬТЧИСЛИТСЛЬНЫС СРСДСТВЗ НО КЗЧССТВСННО ПОСТРОИТЬ СГО МОЖНО И ВРУЧНУЪО С
помощью правил построения корневых годографов. Ниже перечислены некоторые ИЗ них:
Количество траекторий корневого годографа равно порядку системы (порядку полинома знаменателя передаточной функции)
с Все траекторИИ корневого годографа непрерывны
Комплексные части траекторий всегда сопряжены
ТраекторИИ корневого годографа выходят из полюсов разомкнутой системы
Траектории корневого годографа заканчиваются в нуляХ системы (корнях полинома числителя передаточной функции) ИЛИ
аСИМПТОТИЧССКИ УХОДЯТ НЗ беСКОНСЧНОСТЬ
Та часть действительной оси принадлежит корневому годографу правее которой располагается нечетное количество нулей И
полюсов разомкнутой системы.

На унке показан пример корневого годографа некоторой системы.

Ном Ьосиз Еапог Юг Ореп

Оценка качества регулирования с помощью корневого годографа
Как уже было сказано корневой годограф позволяет проводить оценку характера переходных процессов в системе.

Продемонстрируем на примере системы показанной на унке
Показатели качества регулирования оценим по корневому годографу представленному на унке . . В соответствии с
расположением корней для семи значений коэффициента усиления К представлены переходные процессы на выходе системы.

В случае &) передаточная функция замкнутой системы содержит два неустойчивых апериодическИХ звена ИЗ За которых переходная
характе тика неограниченно монотонно возрастает тогда как в случае ) неустойчивость носит колебательный характер ИЗ за пары
комплексно сопряженных корней с положительной действительной частью. Случай в) соответствует предельному значению коэффициента
усиления КЗ Кпр когда система находится на границе области устойчивости И в ней возникают периодические колебания.

На унке . г И д представлены устойчивые колебательные процессы сильно отличающиеся качеством регулирования. Так для К
К корни располагаются близко к мнимой оси И имеют небольшой коэффициент затухания определяемый как что порождает долго
незатухающий процесс.

А в случае К корни находятся на значительном расстоянии от мнимой оси И коэффициент затухания прИ этом увеличивается что

приводит к быстрому переходному процессу с малым числом колебаний.

Для коэффициента усиления Кб корни становятся кратными действительными И с дальнейцшм увеличением К один корень стремится к

беСКОНСЖОСТИ ПО ОТРИЦЗТСЛЬНОИ ЧЗСТИ ДСИСТВИТСЛЬНОИ СИ & ДРУГОИ ДВИЖСТСЯ К НУШО В ТОЧКС. В ПСРСХОДНЬ Х ПРОЦСССЗХ ПОКЗЗЗННЬіХ

на унке . е для значений коэффициентов усиления отсутствует колебательная составляющая но перерегулирование возникает
ИЗ За доминирующего нуля передаточной функции.

Анализ по корневому годографу показывает что с увеличением коэффициента усиления показатели качества возрастают.

Исследование точности регулирования
точности регулирования судят по сигналу ошибки разности входного И выходного сигналов. Анализ точности линейной

системы проводят с помощью разложения в степенной ряд передаточной функции ошибки

Этот ряд является сходящимся при что во временной области означает Переходя к сигналам во временной области

получим выражение установившейся ошибки

Презентация . Применение среды МАТЬАВ для анализа И проектирования систем

автоматического управления



Способы задания передаточной функции
ФункЦИИ реализации последовательного параллельного И соединения с обратной связью
Анализ И проектирование динамических систем в среде МАТЬАВ
Вычисление И отображение нулей И полюсов системы

Построение ЛАФЧХ И городгафа передаточной функции

Построение временных характе тик

Построение корневого годографа

Способы задания передаточной функции

Пакет СоШго зузгеш [оо Ьох для описания непрерывных И дискретных динамических моделей систем управления с постоянными
параметрами использует либо гГ форму передаточной функции либо форму нулей полюсов И обобщенного коэффициента передачи
либо зз форму пространства состояний.

Передаточная функция описывается в вИде отношения многочленов которые задаются в вИде векторов строк составленных ИЗ ИХ
коэффициентов. В р < форме корни многочленов числителя И знаменателя передаточной функции И обобщенного коэффициента передачи
также задаются в вИде одномерных массивов. Наиболее естественным для системы МАТЬАВ является представление модели в пространстве
состояний.

Таким образом математическую модель стационарной непрерывной системы можно задать следующими способами:
форме передаточной функции
форме нулей полюсов И коэффициента усиления

ИСТИННЫЙ КОЭФФИЦИСНТ усиления такой сИстемы
форме пространства состояний в виде четверки матриц А В С И В системы дифференциальных уравнений

пит

Передаточная функция РУС
задается многочленом числителя ниш И многочленом знаменателя В системе МАТЬАВ

многочлены представляются как векторы строки составленные ИЗ коэффициентов многочлена в порядке убывания степеней переменной.
Например вектор соответствует многочлену Если заданы векторы ниш И соответствующие многочленам числителя И

пит
знаменателя то функция создает модель системы в вИде передаточной функЦИИ

Пример Функция формирует передаточную функцию

Пример .Передаточную функцию можно задать следующим образом:
Гинсгіон:
модель тесно связана с формой представления объекта в виде передаточной функции: нули — это корни многочлена числителя

полюсы — корни многочлена знаменателя.
Функция предназначенная для формирования таких моделей имеет вид и» векторы ИЗ нулей И полюсов

обобщенный коэффициент усиления.

Не забывайте что коэффициент < следует задавать аккуратно чтобы обеспечить истинный коэффициент усиления

Пример. Требуется задать передаточную функцию . Для этого необходимо наИТИ все нули И полюса этои


передаточной функции составить ИЗ НИХ вектора И задать функцию

Пример. Пусть требуется задать передаточную функцию

Обратите внимание что истинный коэффициент усиления равен . Нули И полюса этой передаточной функции следующие:
ПОЛУЧИМ'

Воспользовавшись равенством
Отсюда обобщенный коэффициент
Тогда функция обеспечит нам исходную передаточную функцию:


Если привести вид полученной передатоъшой функции к типовому то можно убедиться что истинный коэффициент усиления равен

Примечание. ЕслИ нулИ в передаточной функции отсутствуют то соответствующий вектор следует задавать пустым в вИде пустых
скобок
Пример. Пусть требуется задать передаточную функцию РУС?

Нули в данной системе отсутствуют а полюса

Тогда для задания передаточной функции следует воспользоваться записью
где обобщенный коэффициент обеспечивает истинный коэффициент равный :

Если И вестно описание системы в пространстве переменных состояний в виде матриц А В С И В то задать эту систему в среде
МАТЬАВ можно с помощью функции

где вуз — любое выбираемое пользователем имя системы.

Пример

Пусть система описана в пространстве переменных состояний с помощью матриц

Тогда для задания этой системы в среде МАТЬАВ необходимо записать следующие строчки:
Функции реализации последовательного параллельного И соединения с обратной связью

Параллельное соединение

Функция рата реализует параллельное соединение двух систем. Эта функция эквивалентна операЦИИ сложения
Последовательное соединение

Функция реализует последовательное соединение двух систем. Эта функция эквивалентна операЦИИ умножения
систем
Соединение с обратной связью

Функция возвращает систему вуз соответствующую соединению систем в контур с отрицательной
обратной связью. Причем система находится в прямой передаче а системав обратной связи.

Чтобы замкнуть систему положительной обратной связью следует использовать следующее обращение

Внимание! Очень частой ошибкой бывает использование следующей записи прИ построении соединения с обратной связью:
В данном случае операция замыкания контура обратной связью в среде МАТЬАВ будет выполнена некорректно.

Поэтому для реализации соединения с обратной связью необходимо использовать функцию ГееаЬасК.
Анализ И проектирование динамических систем в среде МАТЬАВ
Вычисление И отображение нулей И полюсов системы

Функция возвращает вектор р состоящий ИЗ полюсов системы вуз.

Функция возвращает вектор состоящий ИЗ нулей передаточной функции системы вуз.

Для отображения полюсов И нулей системы на комплексной плоскости следует использовать функцию р шар($у$).
Пример.

Пусть задана система в виде некоторой передаточной функции РУ

Тогда воспользовавшись записью получим следующий результат
|пипп
Построение ЛАФЧХ И городгафа передаточной функции

Функция предназначена для построения амплитудных И фазовых логарифмических частотных характе тик для

ДИНЗМИЧССКИХ СИСТСМ.

Пример.


Пусть требуется построить ЛАФЧХ для колебательного звена РУ

Обращение позволит получить график ЛАФЧХ

Ргеоиепсу (гэфзеы

Функция предназначена для построения частотного годографа передаточной функции динамической системы.
Пример. Пусть требуется построить годограф для колебательного звена ИЗ предыдущего примера.

Обращение позволит получить годограф


Зуяет
(Мытищ
Нешепст


Примечание. По умолчанию система МАТЬАВ строит годограф для полного диапазона частот от —оо до + . Часть годографа
соответствующую отрицательным частотам легко убрать. Для этого необходимо щелкнуть правой кнопкой мыши в области годографа

выбрать пункт меню И снять галочку с “Ыеёагіуе Ргечиенсіез”.

С помощью ЛАФЧХ И годографа возможно исследовать запасы устойчивости системы. Рассмотрим на следующем примере. Пусть


дана система в разомкнутом состоянии


Годограф этой системы будет иметь вид показанный на унке Щелкнув правой кнопкой мыши в области унка И выбрав

пункт меню сможем увидеть запасы устойчивости по модулю И фазе.


Таким же образом запасы устойчивости можно увИдеть И на ЛАФЧХ.

Построение временных характе тик
Для построения переходной характе тики динамической системы предназначена функция
Пример.

Пусть дана система в виде колебательного звена

Тогда переходной процесс можно построить с помощью обращения втер

шипит:


Для построения импульсной переходной характе тики динамической системы предназначена функция ітри!$е(УУ).
Примечание. Если дана система в разомкнутом состоянии требуется построить переходную ИЛИ импульсную характе тику для
замкнутой системы то прежде чем использовать функцию втер‚ сначала необходимо получить замкнутую систему с помощью функции


Построение корневого годографа

ПрИ построеНИИ корневого годографа следует четко понимать что исходными данными является разомкнутая система. А
результатом построения корневого годографа является набор траекторий движения полюсов замкнутой системы при изменении
коэффициента усиления разомкнутой системы от нуля до бесконечности.

Рассмотрим построение корневого годографа на примере.


Пусть задана разомкнутая система

Задавать передаточную функцию разомкнутой системы следует для К (истинный коэффициент усиления равен ):
Сформируем заданную передаточную функцию например с помощью функЦИИ &:
Гинсгіон:

Корневой годограф можно построить с помощью обращения

Квадратики закрашенные красным цветом показывают расположение полюсов замкнутой системы прИ том ИЛИ ином значении
коэффициента усиления разомкнутой системы. С помощью мыши можно перемещать ЭТИ полюса И следить за тем как именно изменяется
ИХ расположение прИ изменении коэффициента усиления.

Применение. Инструмент г [оо позволяет в онлайн режиме добавлять нули И полюса в систему И следить за тем как прИ этом
изменится вИд корневого годографа. Кроме того в рамках этого инструмента есть возможность исследовать частотные И временные

характе тики замкнутой системы.