Reshenie_5_var
.pdf
Основы теории управления
Рисунок 1 Структурная схема системы управления
Параметры системы |
Значения |
k1 |
7 |
k2 |
0.6 |
T1 |
0.056 |
k3 |
0.85 |
T2 |
0.036 |
T3 |
0.048 |
k4 |
1.0 |
Необходимо:
1.Вывести в общем виде передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем по управляющему воздействию.
2.Определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.
Решение
Передаточная функция разомкнутой системы равна
W s |
Y s |
|
|
k1k2k3 |
|
|
|
|
|
|
|
k1k2k3 |
|
|
||
X s |
|
T s 1 T T s2 |
T s 1 |
|
T T T s3 |
T T T T s2 |
T T s 1 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
3 |
||
Передаточная функция замкнутой системы равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1k2k3 |
|
|
|
|
|
|
||
Ф(s)= |
W s |
|
|
|
|
T T T s3 |
|
T T T T s2 |
T T s 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|||
1 W |
s |
k |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1k2k3k4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T T T s3 |
T T T T s2 |
T T s 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
3 |
1 |
|
3 |
|
|
|
Ф(s)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1k2k3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
T T T s3 |
|
T T |
|
T T |
s2 |
|
T |
|
T |
s |
1 k k |
k k |
4 |
|
|
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
1 |
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|
||||||
Окончательно, с реальными параметрами, передаточная функция замкнутой системы запишется
Ф(s)= |
3.57 |
|
|
|
|
9.677 10 5 s3 4.416 10 |
3 s2 0.104s 4.57 |
Для определения устойчивости замкнутой системы выпишем характеристическое уравнение
9.677 10 5 s3 4.416 10 3 s2 0.104s 4.57 0
Видим, что уравнение третьего порядка. Для определения устойчивости по критерию Гурвица составим матрицу Гурвица по следующему правилу:
1.По диагонали сверху вниз записываются все коэффициенты, начиная с a1 до an в порядке возрастания индексов;
2.Столбцы дополняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами, вниз коэффициенты с убывающими индексами;
3.На месте коэффициентов с индексами большими n и меньше нуля проставляются нули
Сам критерий формируется следующим образом: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при a0>0 были положительными n главных диагональных определителя Гурвица
Выпишем коэффициенты
a0= 9.677 10 5 ; a1= 4.416 10 3 ; a2= 0.104 ; a3=4.57
Выпишем матрицу Гурвица
4.416 10
9.677 10
0
3
5
4.57 0
0.104 0
4.416 10 3 4.57
Во-первых, a0= 9.677 10 5 >0
Главные определители матрицы Гурвица имею вид
1
2
4.416 10
4.416 10
9.677 10
3
3
5
0 ;
4.57 |
4.416 10 |
3 |
0.104 |
9.677 10 5 |
4.57 |
1.703 10 5 |
0 |
|
0.104 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4.57 |
2 |
4.57 |
1.703 10 5 |
0 |
|
|
|
|
Вывод: так как a0= 9.677 10 5 >0 и главные диагональные определители матрицы Гурвица все положительны, то замкнутая система устойчивая.