Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Численные методы

.pdf
Скачиваний:
73
Добавлен:
05.01.2019
Размер:
2.15 Mб
Скачать

И. А. Тарасова, Л. С. Сагателова

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ.

ЛАБОРАТОРНЫЙ

ПРАКТИКУМ

0

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И. А. Тарасова, Л. С. Сагателова

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ.

ЛАБОРАТОРНЫЙ

ПРАКТИКУМ

Учебное пособие

Волгоград

2018

1

УДК 519.6(075)

Рецензенты:

кафедра «Программной инженерии» ФГБОУ ВО «Государственный университет управления» Институт информационных систем,

зав. кафедрой, канд. техн. наук, д-р экон. наук профессор П. В. Терелянский; д-р пед. наук профессор кафедры теории, методики обучения математике и информатике ГАУ ДПО «Волгоградская государственная академия последипломного образования» Г. И. Ковалева

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Тарасова, И. А.

Численные методы для экономистов. Лабораторный практикум / И. А. Тарасова, Л. С. Сагателова; ВолгГТУ. – Волгоград, 2018. – 64 с.

ISBN 978-5-9948-3025-3

В учебном пособии в сжатом виде и на доступном уровне излагаются основные теоретические сведения о решении прикладных задач, подробно рассматриваются вопросы применения инструментальных средств, содержатся задания к лабораторным работам для самостоятельной работы студентов.

Предназначено для изучения дисциплины «Численные методы» студентами экономического факультета по направлениям подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.05 «Бизнес-информатика» всех форм обучения.

Ил. 34. Библиогр.: 14 назв.

 

ISBN 978-5-9948-3025-3

Волгоградский государственный

 

технический университет, 2018

2

ВВЕДЕНИЕ

Данное учебное пособие «Численные методы для экономистов. Лабораторный практикум» написано в соответствии с ФГОС ВПО–3 для студентов экономического факультета, обучающихся по направлениям 09.03.03 «Прикладная информатика», 38.03.05 «Бизнес-информатика», изучающих дисциплину «Численные методы» базового курса математики, что и определяет его содержание и структуру. Пособие написано языком в достаточной мере доступным для понимания при сохранении относительной строгости изложения предлагаемого материала. В учебном пособии изложен теоретический материал, дано подробное описание алгоритмов решения задач вычислительной математики, предложены задания для самостоятельного выполнения индивидуальных лабораторных работ и краткие указания к их выполнению. Характерной особенностью учебного пособия является систематическое рассмотрение вопросов реализации математических методов на компьютере. Практически все методы решения прикладных задач проиллюстрированы блок-схемами вычислительных алгоритмов, которые могут быть реализованы на любом языке программирования, что, безусловно, способствует развитию алгоритмического мышления обучающихся. Приведены также примеры решения задач вычислительной математики в программах

Pascal, Mathcad.

При написании пособия авторами учтен опыт чтения лекций и проведения лабораторных работ по курсу «Численные методы» для студентов экономического факультета в условиях использования современного программно-технического обеспечения.

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Специалисты в различных областях науки и техники сталкиваются со сложными теоретическими и прикладными задачами, решение которых невозможно без математического моделирования.

Математические модели представляет собой упрощенное описание исследуемого явления, процесса или реального объекта с помощью математических соотношений. Математическая модель может иметь вид уравнения, системы уравнений или быть выражена в форме иных, как угодно сложных математических структур, или соотношений самой различной природы. Математические модели, в частности, могут быть непрерывными и дискретными.

Математические модели разрабатываются не только с соблюдением корректности и адекватности описания исходных данных, но и с учетом простоты решения математической задачи в рамках математической модели. Решение практической задачи начинается с описания исходных данных и целей на языке строго определенных математических понятий. Точную формулировку условий и целей решения называют математической по-

становкой задачи.

Методы решения математической задачи можно разделить на три группы: графические; аналитические; численные, используемые как самостоятельно, так и комплексно. Графические методы позволяют оценивать порядок искомых величин и направление расчетных алгоритмов. Аналитические методы (точные, приближенные) упрощают фрагментарные расчеты и позволяют успешно решать задачи оценки корректности и точности численных решений. Численные методы — методы решения математических задач в численном виде, т. е. решение задачи путем вычислений в виде конечного числа арифметических действий (итераций) и получение этого решения в виде числовых значений.

Этап поиска и разработки алгоритма решения задачи в рамках исследуемой модели называется алгоритмизацией. Реализация численных методов

4

с помощью ЭВМ называется программированием. Современные математические пакеты позволяют реализовать множество разнообразных вычислительных алгоритмов, поэтому каждый специалист должен знать основы численных методов решения основных классов задач вычислительной математики и уметь использовать для этих целей специализированное программное обеспечение. Численные методы и их реализация на ЭВМ образуют основу вычислительной математики.

Вычислительная математика на сегодняшний момент времени понятие более широкое, чем теория численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач. В вычислительной математике можно выделить следующие три большие раздела.

Первый связан с применением ЭВМ в различных областях научной и практической деятельности и может быть охарактеризован как анализ математических моделей.

Второй – с разработкой методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей.

Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ, включая теорию и практику программирования задач для ЭВМ, в том числе автоматизацию программирования задач для ЭВМ.

Однако стоит отметить, что решение, получаемое численными методами, обычно является приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность. Влияние погрешностей необходимо учитывать, так как они могут существенно исказить результаты решения задач. Общепринятой является следующая классификация погрешностей:

1)погрешность математической модели;

2)погрешность исходных данных (неустранимая погрешность):

3)погрешность численного метода;

4)вычислительная погрешность.

5

Погрешности математической модели неизбежны потому, что любая замена реального процесса, явления или объекта математической моделью является приближенной.

Неустранимыми называют погрешности, которые невозможно уменьшить в условиях решения данной реальной задачи. Источниками погрешностей данного типа часто являются физические измерения. Погрешности этого типа вызываются не только недостатком информации об исходных данных, но и использованием округленных значений констант, например, таких иррациональных чисел, как π или е (основание натуральных логарифмов).

Погрешность численного метода (погрешность аппроксимации), свя-

зана, например, с заменой интеграла суммой, с усечением рядов при вычислении функций, с интерполированием табличных значений функциональных зависимостей и т. п. Как правило, погрешность численного метода регулируема и может быть уменьшена до любого разумного значения путем изменения некоторого параметра.

Вычислительная погрешность возникает из-за округления чисел, промежуточных и окончательных результатов счета. Она зависит от правил и необходимости округления, а также от алгоритмов численного решения. Любой компьютер обрабатывает коды конечной длины. Количество разрядов машинного слова обусловливает погрешность округления. Относительная погрешность округления составляет 0,5 10 t , где t – число разрядов. Эта величина кажется маленькой, но при миллионах математических операций, выполняемых процессором, окончательная погрешность вычислений (погрешность четвертого типа) может достигнуть значительной величины. Часто возникают следующие ситуации. Точность численного метода возрастает с ростом числа шагов, но на практике при прогоне тестовых задач наблюдается увеличение ошибки результата после некоторого количества итераций. Эта погрешность может возрастать, например, при

6

машинном округлении разности близких величин или при делении на очень маленькое число. О вычислительных погрешностях имеется обширная специальная литература.

Рассмотренные ниже в данном пособии погрешности относятся к третьему типу, но на точность конечного результата существенно влияют и другие причины. Каждая из погрешностей уменьшает точность результата, но стремиться неограниченно уменьшать все погрешности нерационально

идаже невозможно.

Вдостаточно общем виде процесс решения задачи на ЭВМ состоит из следующих этапов:

1) постановка задачи и построение математической модели (этап моделирования);

2) выбор метода и построение алгоритма (этап алгоритмизации); 3) запись алгоритма на языке, понятном ЭВМ (этап программирования); 4) отладка и исполнение программ на ЭВМ (этап реализации); 5) анализ полученных результатов (этап интерпретации).

Для ознакомления студентов с основными численными методами, предусмотренными программой курса высшей математики, их особенностями и возможностями разработан цикл лабораторных работ, который включает в себя следующие работы:

1)решение нелинейных уравнений;

2)интерполирование функций;

3)вычисление определенных интегралов;

4)численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В данном учебном пособии для каждой лабораторной работы приведены теоретические сведения, постановки задач и основные численные методы их решений, примеры выполнения работ, варианты заданий для самостоятельной работы.

7

2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Постановка задачи

Целью данной лабораторной работы является нахождение действительных корней уравнения y = f(x), при которых функция f(x) обращается в ноль, т. е. решение уравнения

f(x) = 0

(1)

В некоторых частных случаях это уравнение может быть решено аналитически (например, линейное или квадратное уравнения). Однако в большинстве случаев при решении прикладных задач, когда уравнение носит нелинейный характер, оно обычно не может быть решено аналитиче-

ски. В таких случаях используют приближенные (итерационные) методы решения: графический, метод половинного деления, метод касательных, метод хорд, комбинированный и другие.

Решение уравнений (1) при этом осуществляется в два этапа:

1)определение местоположения, характера интересующего нас корня и выбор его начального значения (отделение корней);

2)вычисление корня с заданной точностью , посредством выбранного какого-либо вычислительного алгоритма (уточнение корня).

На первом этапе вначале определяют, какие корни требуется найти, например, только действительные или только положительные или наименьший корень и т. д. Затем находят отрезки из области определения функции y = f(x), взятой из (1), содержащие по одному корню.

На втором этапе используются итерационные методы, позволяющие с помощью некоторого рекуррентного соотношения

x xk (xk 1, xk 2

, ..., xk m )

(2)

n

 

 

при выбранном начальном приближении к x* построить последовательность (xn).

8

Как правило, всегда стоит задача обеспечения сходимости последовательности (2) к истинному значению корня x*. Сходимость достигается посредством выбора различными способами функций в (2), которая зависит от f(x) и в общем случае от номера последовательности решений (n). При этом, если при нахождении значения xn xk x*, используется одно предыдущее значение m=1, то такой метод называется одношаговым. Если используется m предыдущих значений, то метод называется m-шаговым и, как правило, с увеличением m вычислительные алгоритмы усложняются.

Расчет по рекуррентной последовательности продолжается до тех пор, пока | xn xn–1| < . Тогда последнее xn выбирается в качестве приближенного значения корня (x* xn).

На практике имеется большой выбор законов , что обеспечивает многообразие численных итерационных методов решения нелинейных уравнений.

9