2

Задача 1.27

Номер автомобиля содержит четыре цифры, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9 (возможен номер 0000). Определить вероятность того, что номер содержит хотя бы одну цифру 0.

Задача 2.27

На приведенной ниже схеме соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны p₁ = 0.1, p₂ = 0.2, p₃ = 0.3, p₄ = 0.4, p₅ = 0.5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Пусть событие А – безотказная работа прибора; B_i – безотказная работа i-го элемента; P(B_i) =

Задача 3.27.

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором – 10 белых и 10 черных, в третьем – 20 черных шаров. Из каждого ящика вынули шар. Затем из этих трех шаров наугад взяли один шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

Обозначим A – событие, что шар белый.

Среди вынутых шаров возможны две равновозможные комбинации: Н₁ – событие, что выбрали 2 белых шара и 1 черный шар; Н₂ – событие, что выбрали 1 белый шар и 2 черных шара.

Тогда:

Задача 4.27

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0.9. Произведено десять бросков. Найти вероятность того, что будет девять попаданий.

В результате каждого опыта наступает или не наступает событие А – мяч в корзину попал.

Задание 5.27

Ряд распределения случайной величины Х представлен таблицей:

X	2	4	6	8	10
P	0.2	0.3	0.05	0.25	0.2

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Математическое ожидание:

Задача 7.27

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [0; 4]. Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y).

График y = представлен на рисунке.

Задача 8.27

Двумерный случайный вектор (X,Y) равномерно распределен внутри области B, заданной таблицей:

х1	х2	х3	х4	х5	х6	y1	y2
0	2	1	4	1	7	1	2

Вычислить коэффициент корреляции между величинами Х и Y.

Построим область S. Соединим последовательно точки с координатами из таблицы:

– точку (х1; 0) = (0; 0) с точкой (х2; y2) = (2; 2);

– точку (х2; y2) = (2; 2) с точкой (х4; y2) = (4; 2);

– точку (х4; y2) = (4; 2) с точкой (х3; y1) = (1; 1);

– точку (х3; y1) = (1; 1) с точкой (х5; y1) = (1; 1), остаемся на месте;

– точку (х5; y1) = (1; 1) с точкой (х6; 0) = (7; 0);

Это соответствует многоугольнику с координатами X=(0,2,4,1,7), Y=(0,2,2,1,0).

Задача 9.27

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции R_UV:

,

где a₀ = –2, a₁ = –9, a₂ = –1, b₀ = 9, b₁ = 7, b₂ = 3; математические ожидания, дисперсии и корреляционные моменты величин X_i, соответственно: m₁ = 2, m₂ = –5, m₃ = 4, D₁ = 9, D₂ = 25, D₃ = 25, K₁₂ = 7.5, K₂₃ = 12.5, K₁₃ =7.5.

Математическое ожидание величины U:

Задача 10

Дана выборка одномерной, случайной величины Х:

X =[-0.63 0.74 -2.31 -3.91 -1.59 -4.43 -3.64 -2.11 0.79 -0.99

-3.14 -4.26 -0.92 1.25 -0.58 -3.59 -1.29 -4.40 -3.58 -2.70

-2.72 -2.50 -1.95 1.14 -1.78 -4.30 0.93 -3.77 -1.26 -3.96

-3.40 -4.16 -1.89 1.02 -3.68 -0.75 0.02 -3.22 0.69 -4.33

-3.29 -4.02 -2.50 -0.82 -2.40 -3.43 -0.75 -0.02 1.16 0.28

-1.58 0.78 0.39 -3.41 -4.12 -3.85 -2.77 -2.33 -4.04 -0.63

-3.29 -3.44 -2.25 -4.14 -3.85 -1.60 -4.12 -1.73 -1.77 -0.12

-1.28 -0.20 -0.94 -3.61 0.73 -2.62 1.52 -0.68 -0.37 1.08

-4.43 -1.25 -1.85 -3.99 -3.98 -1.70 -1.65 -3.35 -3.61 -1.04

-1.38 -2.37 -0.04 0.43 -1.46 0.63 -4.11 -1.94 -0.04 -1.91];

Вариационный ряд получается путем расположения элементов выборки по возрастанию:

Построение гистограмм

а) Равноинтервальный метод

В этом методе диапазон значений вариационного ряда делится на равные интервалы длины h и подсчитывается число m_i точек, попавших на каждый интервал. Точки подсчитываются по

б) Равновероятностная гистограмма

При построении гистограммы этим методом интервалы определяются так, чтобы на каждый из них попало бы одинаковое число точек, т.е. вариационный ряд делится по порядку на М равных

За полным содержанием данной работы обращайтесь по следующим адресам:

https://vk.com/orororr

schmuglevski@mail.ru

Задача 11

Дана выборка двумерной случайной величины:

B=[4.22 10.38; 5.07 6.53; 3.94 6.01; 1.45 5.23; 3.27 7.57

2.30 5.59; 3.81 5.75; 7.06 8.24; 7.60 9.02; 4.64 10.28

7.95 9.75; 4.52 8.47; 1.83 5.29; 0.52 4.96; 6.19 11.40

2.83 7.77; 4.11 5.91; 3.37 6.82; 4.85 7.50; 2.12 2.63

0.78 4.37; 5.90 5.74; 8.60 9.22; 1.66 4.31; 3.63 8.46

2.48 4.21; 4.86 11.72; 3.64 4.06; 7.22 8.80; 3.28 3.84

2.85 3.01; 2.57 5.35; 6.82 8.78; 3.83 8.10; 0.51 1.86

6.42 5.23; 3.79 7.17; 4.27 6.48; 3.45 5.05; 3.28 6.04

1.66 5.20; 3.96 7.50; 6.36 6.98; 3.72 7.26; 6.92 8.16

2.50 2.13; 4.51 5.19; 0.69 6.09; 5.13 8.56; 3.47 6.41];

Здесь символом ";" отделены пары значений случайной величины – это строки, т.е. матрица В имеет два столбца. Обозначим 1-й столбец Х, 2-й – Y, а конкретные i-ые значения случайной величины обозначим (x_i,y_i).

Число опытов n = 50.

Оценки математических ожиданий по каждой переменной

За полным содержанием данной работы обращайтесь по следующим адресам:

https://vk.com/orororr

schmuglevski@mail.ru

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - 5-е изд., стереотип. - М.: Высш. шк., 1999. - 576 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М: Наука, 1988. - 480с.

3. Жевняк Р.М., Карпук А.А., Унукович В.Т. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для студентов. инж.-экон. спец. – Мн.: Харвест, 2000.-384 с.

4. Волковец А.И., А.Б. Гуринович А.Б. Конспект лекций по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей и форм обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2003.- 82 с.

5. Волковец А.И., Гуринович А.Б. Аксенчик А.В. Методические указания по типовому расчету по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика" для студентов всех специальностей заочной формы обучения БГУИР. - Мн.: БГУИР, 2009.- 65 с.